次数小于等于n-1的一元多项式空间
高等代数研究的主要对象是线性空间,数域$\mathbb{F}$上所有次数小于等于$n-1$的一元多项式构成一个线性空间，记为$V=\mathbb{F}[x]_{n}$,那么显然$\dim V=n$，并且容易知道已有一组基为$$1,x,x^{2},\dots,x^{n-1}$$
事实上,按照线性空间基的定义容易验证还有基$$1,(x-a),(x-a)^{2},\dots,(x-a)^{n-1}$$与Lagerange插值基$$ g_{i}(x)=\frac{1}{x-x_{i}}\prod_{j=1}^{n}(x-x_{j}),i=1,2,\dots,n.$$
下面分享2015年四川大学高等代数考研试题中的一题，利用Lagerange插值基函数将变得十分巧妙.
设$V$是数域 $\mathbb{F}$上的$n$维线性空间，$T$是$V$上的线性变换，$\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n}\in \mathbb{F}$互不相同，且都不是$T$的特征值；$I$是$V$上的恒等变换.
- 证明：对每个$1 \le i \le n,T-\lambda_{i}I$都是$V$上的可逆线性变换.
- 证明：存在$\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n}\in \mathbb{F}$使得$$ \sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}(T-\lambda_{k}I)^{-1}=I. $$
证明:1.对任意$i=1,2,...,n$,$T-\lambda_{i}$不可逆$\iff \left|T-\lambda_{i}\right|=0\iff \lambda_{i}$为$T$的特征值,而由题设条件可知,$\lambda_{i}$不是$T$的特征值,于是$T-\lambda_{i}$可逆.
2.令$$F(x)=\prod_{k=1}^{n}(x-\lambda_{k})$$因$T-\lambda_{i}$可逆,故$F(T)=\prod_{k=1}^{n}(T-\lambda_{k}I)$可逆,并且在$\mathbb{F}[x]_{n}$中,$$g_{i}(x)=\frac{1}{x-x_{i}}\prod_{j=1}^{n}(x-x_{j}),i=1,2,\dots,n$$是$\mathbb{F}[x]_{n}$的一组基，故$F(x)$可由其线性表出,即:存在$\alpha_{k}\in\mathbb{F}$使得
$$ F(x)=\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}g_{k}(x)$$
上式中的不定元$x$以变换$T$带入仍然成立,即:
$$ F(T)=\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}g_{k}(T)$$
两边同时作用$F(T)^{-1}$,有$$ \sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}(T-\lambda_{k}I)^{-1}=I. $$
证毕.
