考研数学方法总结

方程根问题

存在性

\(f(x)=0\)在\([a,b]\)上有根

• 令\(F(x)=f(x)\) ，得 \(F(a)F(b)<0\)，根据零点定理可得
• 令\(F'(x)=f(x)\) ，得 \(F(a)=F(b)\)，根据罗尔定理可得

根的个数

唯一根

1. 证明存在性
2. 证明单调性\(f'(x)<0(>0)\)可得

多少根

1. 令\(F(x)=f(x)\)，然后求导
2. 得驻点和不存在的点，画图，若无法解出猜，罗尔定理推论
3. 每个单调区间的端点，极值点，可得结果

变极积分函数

定义

\([\int_a^x f(x)dx]'=f(x)\)，若\(f(x)\)连续，则\(\int_a^x f(x)dx\)可导

考点

1. \(f(x)\)为分段函数，求\(\int_a^x f(x)\)，画个\(f(x)\)的图
2. \(f(x)\)为分段函数，在分段点的连续性与可导性（考试重点），这个时候

\(f(x)\)	\(\int_a^x f(x)\)
可积	连续
连续	可导
\(x_0\)为可去间断点	\(x_0\)处可导
\(x_0\)为跳跃间断点	\(x_0\)连续但不可导

3. 求导
4. 无穷小比阶

• \(\int_0^{g(x)} f(x)dx=\int_0^{x^n} x^mdx\)等价于\(x^{(m+1)n}\)（这个方法视情况而用，我总觉的求个导更快）