微分方程算子法

目的

快速的求二次非齐次方程的特解，记得最后验算下

求解过程

\(y''+py'+qy=f(x)\) ，我们令\(D\)为求导符号比如\(y''=D^2y\),令\(\dfrac{1}{D}\)为积分符号

则\(y''+py'+qy=(D^2+pD+q)y=f(x)\) ,\(y=\dfrac{f(x)}{D^2+pD+q}\)

1. \(f(x)=e^{kx}\) 把k导入到D的导数之中去，若分母为0，则外面乘一个x，分母求导，以此类推，求出最终结果就行。
2. \(f(x)=sin ax 或者cos a x\) 见\(D^2\)就把\(D^2\)换成\(-a^2\),若分母为0，则外面乘一个x，分母求导。若分母为D的一次方，则积分
3. \(f(x)=e^{kx}*sin a x 或者cos a x\) 移心大法，我们令\(f(x)=e^{kx}\dfrac{1}{f(D+k)}V(x)\)