UVA 1490 Let the light guide us 题解

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题意

有一个 $n\times m$ 的网格，每个格子有两个值 $a$ 和 $b$（原题中是 $T$ 和 $f$）。你需要在每一行选择一个格子，使得对于任意选择的两个格子 $(i,j),(i+1,k)$，满足 $|j-k|\le b(i,j)+b(i+1,k)$。求所选格子的 $a$ 之和的最小值。

$n\le 100,m\le 5000,0\le b(i,j)\le {10}^5$。

思路

朴素 DP

首先，显然 $b>5000$ 是没有意义的（因为 $|j-k|$ 是不可能大于 $5000$ 的）。

然后可以设计出一个状态：$f(i,j)$ 表示考虑了前 $i$ 行，第 $i$ 行选了第 $j$ 列的格子，最小的代价。转移方程是这样的：

$$f(i,j)=a(i,j)+\underset{|j-k|\le b(i,j)+b(i-1,k)}{min}f(i-1,k)$$

时间复杂度 $O(n{m}^2)$。

优化

这个状态基本上已经无法优化了（反正我不会），所以我们要在转移上下手。

我们看这个式子：

$$|j-k|\le b(i,j)+b(i-1,k)$$

显然右边大于 $0$，所以可以把它化成这样：（两个式子同时成立）

$$\{\begin{array}{l}j-k\le b(i,j)+b(i-1,k)\\ k-j\le b(i,j)+b(i-1,k)\end{array}$$

化简得：

$$\{\begin{array}{l}j-b(i,j)\le k+b(i-1,k)\\ j+b(i,j)\ge k-b(i-1,k)\end{array}$$

接下来就比较神奇了。（鬼知道这是怎么想到的）

我们记 $S_L=j-b(i,j)$，$S_R=j+b(i,j)$，并记区间 $S=[S_L,S_R]$。
类似的，记 $T_L=k-b(i-1,k)$，$T_R=k+b(i-1,k)$，并记区间 $T=[T_L,T_R]$。
（显然 $S_L\le S_R$，$T_L\le T_R$）

那么上面的式子就可以写成：

$$\{\begin{array}{l}{S}_L\le T_R\\ T_L\le S_R\end{array}$$

那么这个式子和「$S$ 与 $T$ 相交」是等价的。

证明：

区间 $S$ 与 $T$ 不相交 等价于 $S_R<T_L$ 或 $T_R<S_L$，所以 $S$ 与 $T$ 相交 等价于：$\{\begin{array}{l}{S}_R\ge T_L\\ T_R\ge S_L\end{array}$
这与原式相同。

然后就简单了。现在的问题是对于每个格子有一个区间 $[S_L,S_R]$，如果相邻两行的格子的区间相交，那么这两个格子就可以同时被选（即可以用上一行格子的 $dp$ 值更新这一行的 $dp$ 值）。

做法显然是对于每一行开一个线段树，将上一行的 $[T_L,T_R]$ 区间取 $min$，这一行的 $[S_L,S_R]$ 区间求 $min$，就是区间改区间查的问题了。

$n$ 个线段树空间会炸，但其实可以只用开一个线段树。

时间复杂度 $O(nm\log m)$。

代码

// UVA1490
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>

const int N = 100 + 5;
const int M = 5000 + 5;
const int ARR_V = 7000 + 5;
const int V_MAX = 6000;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int a[N][M], b[N][M];
int n, m;

int f[N][M];

struct SegmentTree {
	int t[ARR_V << 3], lazy[ARR_V << 3];
	void reset() {
		memset(t, 0, sizeof(t));
		memset(lazy, INF, sizeof(lazy));
	}
	void build() {
		memset(t, INF, sizeof(t));
		memset(lazy, INF, sizeof(lazy));
	}
	void set_lazy(int x, int v) { t[x] = std::min(t[x], v), lazy[x] = std::min(lazy[x], v); }
	void lazy_down(int x) {
		set_lazy(x << 1, lazy[x]), set_lazy(x << 1 | 1, lazy[x]);
		lazy[x] = INF;
	}
	int query(int ql, int qr, int x = 1, int l = 1, int r = V_MAX << 1) {
		if(ql > qr) return INF;
		if(ql <= l && r <= qr) return t[x];
		int mid = (l + r) >> 1, ret = INF;
		lazy_down(x);
		if(ql <= mid) ret = std::min(ret, query(ql, qr, x << 1, l, mid));
		if(qr > mid) ret = std::min(ret, query(ql, qr, x << 1 | 1, mid + 1, r));
		return ret;
	}
	void modify(int ql, int qr, int qv, int x = 1, int l = 1, int r = V_MAX << 1) {
		if(ql > qr) return;
		if(ql <= l && r <= qr) { set_lazy(x, qv); return; }
		int mid = (l + r) >> 1;
		lazy_down(x);
		if(ql <= mid) modify(ql, qr, qv, x << 1, l, mid);
		if(qr > mid) modify(ql, qr, qv, x << 1 | 1, mid + 1, r);
		t[x] = std::min(t[x << 1], t[x << 1 | 1]);
	}
} seg;

int main() {
	while(scanf("%d%d", &n, &m) == 2 && (n | m)) {
		for(int i = 1; i <= n; i++) for(int j = 1; j <= m; j++) scanf("%d", &a[i][j]);
		for(int i = 1; i <= n; i++) for(int j = 1; j <= m; j++) scanf("%d", &b[i][j]), b[i][j] = std::min(b[i][j], 5000);
		seg.reset();
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			for(int j = 1; j <= m; j++)
				f[i][j] = seg.query(j - b[i][j] + V_MAX, j + b[i][j] + V_MAX) + a[i][j];
			seg.build();
			for(int j = 1; j <= m; j++)
				seg.modify(j - b[i][j] + V_MAX, j + b[i][j] + V_MAX, f[i][j]);
		}
		int ans = INF;
		for(int j = 1; j <= m; j++) ans = std::min(ans, f[n][j]);
		printf("%d\n", ans);
	}
	return 0;
}