TopCoder 12792 BitwiseAnd 题解

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题意

原题链接

给 $m$ 个数 $\{or{i}_i\}$，让你添加 $n-m$ 个数（设这一共 $n$ 个数为 $\{a_i\}$），使得：

1. $\mathrm{\forall }1\le i,j\le n,a_i\mathrm{bitand}{a}_j\ne 0$
2. $\mathrm{\forall }1\le i,j,k\le n,a_i\mathrm{bitand}{a}_j\mathrm{bitand}{a}_k=0$

求字典序最小的 $\{a_i\}$，或者判断无解。

做法

先转成二进制，然后条件就等价于对于每一个二进制位， $\{a_i\}$ 中这一位是 $1$ 的不超过 $2$ 个。（不满足就无解，我们把 $a_i$ 中这一位是 $1$ 记为 这一位在 $a_i$ 中出现）

那么我们将 $a$ 的前 $m$ 个设为 $ori$，后面先设为 $0$。

枚举 $i,j(1\le i<j\le n)$（都按从小到大的顺序），然后强制令 $a_i\mathrm{bitand}{a}_j\ne 0$。具体如下：

• 如果 $a_i\mathrm{bitand}{a}_j$ 已经不为 $0$，就不考虑下面的了。
• 如果 $i\le m$ 且 $j\le m$，那么无解。（因为都修改不了）
• 如果 $i\le m$，那么 $a_i$ 修改不了，只有从 $a_j$ 下手。如果 $a_i$ 中有二进制位只在 $a_i$ 出现过一次，那么可以让这一位在 $a_j$ 也出现一次。如果有多个这样的二进制位，取最小的。（因为要字典序最小）
• 否则（$i>m,j>m$）分两种情况：
  • 如果 $a_i$ 有二进制位只在 $a_i$ 出现过一次，那么让它在 $a_j$ 中出现。多个取最小。（因为要字典序最小）
  • 否则，取以下两种情况中 $a_i$ 较小的：
    • 如果有二进制位只在 $a_j$ 中出现，那么让它在 $a_i$ 中出现。多个取最小。
    • 如果有一个二进制位没有出现过，那么让它在 $a_i$ 和 $b_i$ 中都出现。

看不懂？伪代码版解释：

将只在 $a_i$ 处出现一次的最小的 $k$ 记为 $occur(a_i)$（如果没有就是 $-1$）。
将没有出现过的最小的 $k$ 记为 $occu{r}_{min}$（如果没有就是 $-1$）。
$\mathrm{bitand}$ 是二进制下的按位与，$\mathbf{\text{and}}$ 是逻辑与（就是 且）。

$$\begin{array}{lll}1& \mathbf{\text{if }}{a}_i\mathrm{bitand}{b}_i\ne 0& \\ 2& \text{Skip.}& \\ 3& \mathbf{\text{elif }}i\le m\mathbf{\text{ and }}j\le m& \\ 4& \text{No Solution.}& \\ 5& \mathbf{\text{elif }}i\le m& \\ 6& \mathbf{\text{if }}occur(a_i)=-1& \\ 7& \text{No Solution.}& \\ 8& a_j\leftarrow a_j\mathrm{bitor}{2}^{occur(a_i)}& \\ 9& \mathbf{\text{else}}& \\ 10& \mathbf{\text{if }}occur(a_i)\ne -1& \\ 11& a_j\leftarrow a_j\mathrm{bitor}{2}^{occur(a_i)}& \\ 12& \mathbf{\text{else}}& \\ 13& id\leftarrow +\mathrm{\infty }& \\ 14& \mathbf{\text{if }}occur(a_j)\ne -1& \\ 15& id\leftarrow min\{id,occur(a_j)\}& \\ 16& \mathbf{\text{if }}occu{r}_{min}\ne -1& \\ 17& id\leftarrow min\{id,occu{r}_{min}\}& \\ 18& \mathbf{\text{if }}id=+\mathrm{\infty }& \\ 19& \text{No Solution.}& \\ 20& a_i\leftarrow a_i\mathrm{bitor}{2}^{id}& \\ 21& a_j\leftarrow a_j\mathrm{bitor}{2}^{id}& \end{array}$$

证明不难（贪心），当作业。

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
using std::vector;
typedef long long LL;
const int N = 50 + 5;
int edge[N][N];
int used[70];
vector<int> to[N];
int nw_id() {
	for(int i = 0; i < 60; i++) if(!used[i]) return i;
	return -1;
}
LL ans[N];
class BitwiseAnd {
public:
	vector<LL> lexSmallest(vector<LL> st, int n) {
		int m = st.size();
		for(int i = 1; i <= m; i++) ans[i] = st[i - 1];
		for(int i = 1; i <= m; i++)
			for(int j = 0; j < 60; j++) if(st[i - 1] >> j & 1) {
				if(!used[j]) used[j] = i;
				else if(used[j] != -1) edge[i][used[j]] = edge[used[j]][i] = true, used[j] = -1;
				else return {};
			}
		for(int i = 59; i >= 0; i--) if(used[i] > 0) to[used[i]].push_back(i);
		for(int i = 1; i <= n; i++)
			for(int j = i + 1; j <= n; j++) if(!edge[i][j]) {
				if(i <= m && j <= m) return {};
				else if(i <= m) {
					if(to[i].empty()) return {};
					int id = to[i].back();
					to[i].pop_back();
					ans[j] |= 1LL << id;
					used[id] = -1;
				} else {
					int id;
					if(!to[i].empty()) id = to[i].back(), to[i].pop_back();
					else {
						id = 100;
						if(to[i].empty() && to[j].empty()) id = std::min(id, nw_id());
						if(!to[j].empty()) id = std::min(id, to[j].back()), to[j].pop_back();
					}
					if(id == -1 || id == 100) return {};
					ans[i] |= 1LL << id, ans[j] |= 1LL << id;
					used[id] = -1;
				}
			}
		auto v = vector<LL>(ans + 1, ans + n + 1);
		std::sort(v.begin(), v.end());
		return v;
	}
};