二分查找算法详讲(三种版本写法)原创
介绍:
二分查找算法（Binary Search）是一种在有序数组中查找目标元素的算法。
它的基本思想是通过将目标元素与数组的中间元素进行比较，从而将搜索范围缩小一半。
- 如果目标元素等于中间元素，则搜索结束；
- 如果目标元素小于中间元素，则继续在左半部分查找；
- 如果目标元素大于中间元素，则在右半部分查找。
通过不断地将搜索范围缩小一半，最终可以找到目标元素或确定目标元素不存在。
接下来通过例题介绍二分的不同写法
例题:
输入一个整数 n, 接下来一行输入 n 个整数(保证整数序列有序), 最后输入一个整数 m, 查找 m 在序列中的起始下标和结束下标
示例1:
输入:
5
1 2 2 4 5
2
输出:
1 2
解释:
2 在序列中的起始和结束位置是下标 1 和 2
代码讲解:
二分代码按照退出条件分为
- while (l <= r)
- while (l < r)
代码中的所有 l 和 r 都是序列的左右闭区间
代码中的所有 l + r >> 1 和 l + r + 1 >> 1 分别相当于 (l + r) / 2 和 (l + r + 1) / 2。>>是按位右移, 整数向右位移一位相当于除2
代码中的所有 x, 都是目标值, 也就是要查找的值; 所有的 idx, 是答案, 也就是要查找数的起始下标或结束下标
先讲第一种: while (l <= r), 在l > r时退出
// 查找起始下标
int l = 0, r = n - 1, idx = 0;
while (l <= r)
{
int mid = l + r >> 1; // 一分为3, [l, mid), [mid, mid], (mid, r]
if (a[mid] < x) l = mid + 1; // 如果当前中间值比 x 小, 需要去序列的右区间, 因为mid位置的数比 x 小, 那么左边的区间(l, mid]的所有数都比 x 小
else if (a[mid] > x) r = mid - 1; // 同上
else if (a[mid] == x) // 等于答案时
{
idx = mid;
r = mid - 1; // 我们要找的时起始的下标, 虽然此时a[mid] == x, 但是mid的左边可能还有等于x的值, 所以我们要继续往左区间去找
}
}
// 查找结束下标(代码中只有注释的地方和上面的代码不一样)
int l = 0, r = n - 1, idx = 0;
while (l <= r)
{
int mid = l + r >> 1; // 一分为3, [l, mid), [mid, mid], (mid, r]
if (a[mid] < x) l = mid + 1;
else if (a[mid] > x) r = mid - 1;
else if (a[mid] == x)
{
idx = mid;
l = mid + 1; // 我们要找的时结束的下标, 虽然此时a[mid] == x, 但是mid的右边可能还有等于x的值, 所以我们要继续往右区间去找
}
}
观察上面代码我们可以把a[mid] == x的情况跟其他两种情况合并
// 查找起始下标
int l = 0, r = n - 1, idx = 0;
while (l <= r)
{
int mid = l + r >> 1; // 一分为3, [l, mid), [mid, mid], (mid, r]
if (a[mid] < x) l = mid + 1;
else if (a[mid] >= x)
{
idx = mid;
r = mid - 1; // 继续往左区间找
}
}
// 查找结束下标
int l = 0, r = n - 1, idx = 0;
while (l <= r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (a[mid] <= x)
{
idx = mid;
l = mid + 1; // 继续往右区间找
}
else if (a[mid] > x) r = mid - 1;
}
下面讲第二种: while (l < r) 在l == r时退出
大家可以发现这种写法不需要 idx 这个变量来记录最终查找的x的起始下标或结束下标了, 因为最后l就是对应的起始下标或结束下标。（r等于l, 所以用r也行）
查找起始下标
int l = 0, r = n - 1;
while (l < r)
{
int mid = l + r >> 1; // 区间分成了两个 [l, mid] 和 (mid, r]
if (a[mid] < x) l = mid + 1;
// 当a[mid] == x的时候, r一直往左, 所以当有多个相同的x的话, 会查找到第一个
else if (a[mid] >= x) r = mid; // 因为a[mid]可能 == x, 因为mid也可能满足条件, 所以区间变成[l, mid]
}
查找结束下标
int l = 0, r = n - 1, idx = 0;
while (l < r)
{
int mid = l + r + 1 >> 1; // 区间分成了两个 [l, mid) 和 [mid, r]
if (a[mid] > x) r = mid - 1;
// 当a[mid] == x的时候, l一直往右, 所以当有多个相同的x的话, 会查找到最后一个
else if (a[mid] <= x) l = mid; // 因为a[mid]可能 == x, 因为mid也可能满足条件, 所以区间变成[mid, r]
}
解决常见疑惑
接下来讲一下第二种查找结束下标的时候 为什么是 mid = l + r + 1 >> 1，而不是 mid = l + r >> 1;
原因有下面两点:
- c++默认向0取整, 对于正整数你可以说是向下取整, 也就是 5 / 2 = 2,
- 当出现 l = r - 1 的时候, 此时 mid = (l + r) / 2 向下取整后等于 r - 1 , 如果此时进入了a[mid] <= x的分支, 那么 l = mid = r - 1, 这时会发现 l 没有发生变化, 那么就会一直陷入死循环
对于没有专门if(a[mid] == mid )这个分支的代码，如果查找的数不存在的话，上面两种代码找到的下标分别是:
-
查找起始下标的代码 : 第一个大于x的数的下标, 如果大于x的数不存在, 那么找到的下标在最后面
-
查找结束下标的代码: 最后一个小于x的数的下标, 如果小于x的数不存在, 那么找到的下标在最前面
有if(a[mid] == mid )这个分支的代码，如果查找的数不存在的话，那么idx的值还是原来初始化的值!
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