蓝桥杯-地宫取宝

X 国王有一个地宫宝库，是 n×m 个格子的矩阵，每个格子放一件宝贝，每个宝贝贴着价值标签。

地宫的入口在左上角，出口在右下角。

小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。

走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。

当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是 k 件，则这些宝贝就可以送给小明。

请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这 k 件宝贝。

输入格式

第一行 3 个整数，n,m,k，含义见题目描述。

接下来 n 行，每行有 m 个整数 Ci 用来描述宝库矩阵每个格子的宝贝价值。

输出格式

输出一个整数，表示正好取 k 个宝贝的行动方案数。

该数字可能很大，输出它对 1000000007 取模的结果。

数据范围

1≤n,m≤50,
1≤k≤12,
0≤Ci≤12

输入样例1：

2 2 2
1 2
2 1

输出样例1：

2

输入样例2：

2 3 2
1 2 3
2 1 5

输出样例2：

14

题解:

dp分析:

常见问题: 为什么取第(i,j)物品的时候要满足 c == w[i][j] ？ 以及为什么状态转移方程2 为什么是0...c累加

• 我们原本定义了f[i][j][k][c]表示的是 在第(i, j)上的, 取了k个物品且这k个物品的最大值不超过c, 这里我们假设把f[i][j][k][c]表示成 在第(i, j)上的, 取了k个物品且这k个物品的最大值等于c, 这时候需要满足(w[i][j] == c)应该能理解吧。
• 那我们要想让我们假设的变成原本表示的含义, 需要让 f[i][j][k][c] 累加上 f[i][j][k][t] t要满足小于c, 这样我们f[i][j][k][c]表示的集合就从假设的变成了原本的, 但是如果f[i][j][k][c]不满足假设的含义, 那么我们没法让f[i][j][k][c]表示成原本的含义
• 所以取(i,j)上的物品是要满足(w[i][j]==c) 是为了能够更好的计算出正确含义的f[i][j][k][c]的值

Orz笔者是这么理解的~

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详细的状态转移如下图:

注意事项:

我们f数组的第四维是代表 最大值不超过c, 但是题中 c = [0,12], 由于当我们没有选择任何一个物品的时候应该表示成-1, 但是下标没法是负的, 所以我们可以把每个 c 都加1, 也就是w[i][j] + 1. 这样我们 f 的第四维在没有取任何物品时就可以用 下标 0 表示了

看不懂的话, 可以先看这两个题, 摘花生 和 最长上升子序列, 本题是前两道题的揉和

ac代码👇

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 55, MOD = 1000000007;
 
int w[N][N], n, m, k;
int f[N][N][13][14];    
 
int main()
{
    cin >> n >> m >> k;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= m; j ++) cin >> w[i][j], w[i][j] ++;
    
    // 初始化
    f[1][1][1][w[1][1]] = 1;  // 取
    f[1][1][0][0] = 1;        // 不取
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= m; j ++)
        {
            if (i == 1 && j == 1) continue; // 初始话的跳过
            for (int u = 0; u <= k; u ++)
                for (int v = 0; v <= 13; v ++)
                {
                    f[i][j][u][v] = (f[i][j][u][v] + f[i][j - 1][u][v]) % MOD;  // 状态计算 1
                    f[i][j][u][v] = (f[i][j][u][v] + f[i - 1][j][u][v]) % MOD;  // 状态计算 2
                    if (u > 0 && w[i][j] == v)    // u > 0 加不加都行, 不影响答案, 因为 u == 0的时候表示什么都没选, 进入下面的循环也没意义
                    {
                        for (int c = 0; c < v; c ++)  // 常见问题解释的就是这里, 需要加上比 v 小的f, 才能让 f[i][j][k][c]表示的含义正确
                        {
                            f[i][j][u][v] = (f[i][j][u][v] + f[i][j - 1][u - 1][c]) % MOD; // 状态计算 3
                            f[i][j][u][v] = (f[i][j][u][v] + f[i - 1][j][u - 1][c]) % MOD; // 状态计算 4
                        }
                    }
                }
        }
    int res = 0;
    for (int i = 0; i <= 13; i ++) res = (res + f[n][m][k][i]) % MOD;
    cout << res << endl;
    return 0;
}

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