01背包问题

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000

0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8

题解:

每个物品都有两种情况, 选或者不选, 所以要从 2^n 中方案中找到最大值

f[i][j] 表示的是 只考虑前i个商品中, 体积不超过j的 最大价值
集合: 只考虑前i个商品中, 体积不超过j的价值的所有方案
属性: 最大值

---

状态计算:
对于每个f[i][j]都包含两个状态

1. 不选第 i 个商品的最大价值 ---> f[i - 1][j]
2. 选第 i 个商品的最大价值 ---> f[i - 1][j - v[i]] + w[i]

对这两个表达式 求一个max就是f[i][j].

f[n][m]就是答案

---

ac代码👇

常见疑惑:为什么当j>=v[i]的时候就可以装第i个物品了呢?万一 i 之前选的有物品的话, 那么此时就装不下第i个物品了

解答:
f[i][j]的状态计算的第二个 "选第 i 个商品的", 是只考虑存在 第 i 个商品, i前面的商品是否存在不考虑

比如下图紫色字体的位置。 如果 这里的判断条件是 背包剩余的体积不小于v[i], 那么 图中紫色数字应该是2, 因为 v[1] = 1, v[2] = 2, j = 2, 如果选第一个物品的话, f[1][2]的剩余体积是1, 剩余体积 < v[2] = 2, 不进入if分支。 此时f[2][2]=2，表示选第一个物品，不选第二个物品
但如果判断条件是(j >= v[i]) 在 j=2 的时候会进入if分支, 此时表示只选第二个商品, 不选第一个商品, f[2][2] = 4, 显然, f[2][2] = 4才是对的

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e3 + 10;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 0; j <= m; j ++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];    // 不选第i个物品
            if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);  // 选第i个物品
        } 

    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

样例图解模拟 (横着的是 j, 竖着的是 i)

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