蓝桥杯-四平方和
四平方和定理，又称为拉格朗日定理：
每个正整数都可以表示为至多 4 个正整数的平方和。
如果把 0 包括进去，就正好可以表示为 4 个数的平方和。
比如：
5= 0^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2
7= 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2
对于一个给定的正整数，可能存在多种平方和的表示法。
要求你对 4 个数排序：
0≤a≤b≤c≤d
并对所有的可能表示法按 a,b,c,d 为联合主键升序排列，最后输出第一个表示法。
输入格式
输入一个正整数 N。
输出格式
输出4个非负整数，按从小到大排序，中间用空格分开。
数据范围
0<N<5∗1e6
输入样例：
5
输出样例：
0 0 1 2
题解:
暴力three重循环判断会超时~
- 枚举 c 和 d 的所有可能, 并把 c, d, c * c + d * d 都存到数组中
- 对数组排序。 (从大到小, 从小到达都行, 但对应的二分不一样)
- 枚举 a 和 b 的所有可能, 用二分找 当前 a b 下, 对应的 c d, 判断是否满足 n = a * a + b * b + c * c + d * d, 满足的话输出并退出ok了
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e7 + 10;
struct Node {
int c, d, sum;
};
Node v[N];
bool cmp(Node a, Node b)
{
if (a.sum != b.sum) return a.sum < b.sum;
if (a.c != b.c) return a.c < b.c;
return a.d < b.d;
}
int main()
{
int n, m = 0; cin >> n;
for (int i = 0; i * i <= n; i ++)
for (int j = i; i * i + j * j <= n; j ++)
v[m ++] = {i, j, i * i + j * j};
sort(v, v + m, cmp); // 从小到大排序
for (int i = 0; i * i <= n; i ++)
for (int j = 0; j * j + i * i <= n; j ++) // a b 要从 0 开始枚举, 题中要求a≤b≤c≤d
{
int l = 0, r = m - 1;
int t = n - i * i - j * j;
while (l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (v[mid].sum >= t) r = mid; // 二分, 相同的v[mid].sum, 查找的是第一个满足的, 由于我们是 升序, 刚好满足 c <= d
else l = mid + 1;
}
if (v[l].sum == t)
{
cout << i << ' ' << j << ' ' << v[l].c << ' ' << v[l].d << endl;
return 0;
}
}
return 0;
}
觉得写的不错的话, 点个赞吧~
下面不是题解, 是笔者为了让自己更好理解二分写的笔记
- 对比上面的代码可以发现 代码中有 "<--------" 注释的是发生改变的
- 其中 if (v[mid].sum <= t), 二分条件发生变化, 导致了 这个二分在 v[mid].sum 相同的情况下, 找到的是 最后一个 符合条件的 下标
- 上面的代码在 v[mid].sum 相同的情况下, 找到的是 第一个 符合条件的 下标
- so 在下面代码排序中我们是让 c 和 d 按照倒序的方法排的顺序
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e7 + 10;
struct Node {
int c, d, sum;
};
Node v[N];
bool cmp(Node a, Node b)
{
if (a.sum != b.sum) return a.sum < b.sum;
if (a.c != b.c) return a.c > b.c; // <------
return a.d > b.d; // <-------
}
int main()
{
int n, m = 0; cin >> n;
for (int i = 0; i * i <= n; i ++)
for (int j = i; i * i + j * j <= n; j ++)
v[m ++] = {i, j, i * i + j * j};
sort(v, v + m, cmp);
for (int i = 0; i * i <= n; i ++)
for (int j = 0; j * j + i * i <= n; j ++)
{
int l = 0, r = m - 1;
int t = n - i * i - j * j;
while (l < r)
{
int mid = l + r + 1 >> 1;
if (v[mid].sum <= t) l = mid; // <-------
else r = mid - 1; // <-------
}
if (v[l].sum == t)
{
cout << i << ' ' << j << ' ' << v[l].c << ' ' << v[l].d << endl;
return 0;
}
}
return 0;
}
口诀
if 后面是 r 的话 找到的是 l 的, 即 是 第一个 满足条件的
if 后面是 l 的话 找到的是 r 的, 即 是 最后一个 满足条件的
