数论的杂七杂八

数论

最大公约数 ( $gcd(a,b)$ )

• 由欧几里得定理可知gcd(b,a mod b)

ll gcd(ll a,ll b)
{
    if(b == 0) return a;
    else return gcd(b,a%b);
}

• 顺便得出两数的最小公倍数

ll lcm(ll a,ll b)
{
    return (a/gcd(a,b))*b;
}

• 多个数时，求任意两个的最大公约数和最小公倍数，用这两个数再继续结合剩余的数求最大公约数和最小公倍数，最后的结果就是多个数的最大公约数和最小公倍数了

欧拉函数

定义：表示的是小于等于n和n互质的数的个数。记作$\phi (n)$

思路：先假设答案为n，分解质因数，如果这个质因数为x，那么这个答案就变成了$(x-1)/x$倍（因为少了质因数那一部分$1/x$）

• 代码：

ll f_ol(ll x)
{
	ll ans = x;
	for(int i = 2;i*i <= x;i++)
	{
		if(x%i==0)
		{
			ans = ans/i*(i-1);
			while(x%i==0) x/=i;
		}
	}
	if(x>1) ans = ans/x*(x-1);
	return ans;
}

莫比乌斯反演

赛瓦维斯特定理

已知$a,b$为大于1的正整数,$gcd(a,b)=1$,则使不定方程$ax+by=C$不存在非负整数解的最大整数$C=a\times b-a-b$

• 0_{a中间是空的，加上一个b后0}a中有了一个数，以此类推要填满需要(a-1)个b，所以(a-1)b后的数都被填上了，而(a-1)b之前的(a-1)b-a不存在所以$C=a\times b-a-b$

扩展欧几里得

作用：求$ax+by=gcd(a,b)$的可行解

• 设$x^{\prime },y^{\prime }$满足$b{x}^{\prime }+(amodb)y^{\prime }=gcd(b,amodb)$

• 又$amodb=a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \ast b$，$gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$

• 可得$ax+by=b{x}^{\prime }+(a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \ast b)y^{\prime }$

• 即$ax+by=a{y}^{\prime }+b(x^{\prime }-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \ast b\ast y^{\prime })$

• 即$x=y^{\prime },y=x^{\prime }-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \ast b\ast y^{\prime }$

• 最后b肯定为0，此时$ax=a$所以赋值$x=1,y=0$再递归回去

void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(b == 0)
	{
		x = 1;
		y = 0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
	return;
}

逆元

费马小定理

• 若p为素数，gcd(a,p) = 1，则

$$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$$

• 所以

$$a\ast a^{p-2}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$$

• 即$a^{p-2}$是a的逆元，而$a^{p-2}$可以用快速幂来求

ll  qpow(ll a,ll b)//b = p - 2
{
    ll ans = 1;
    a = (a % p + p) % p;
    for(;b;b >>= 1)
    {
        if(b&1) ans = (a*ans)%p;
        a=(a*a)%p;
    }
    return ans;
}

线性逆元

• 首先1的逆元为1
• $a^{-1}\equiv -\lfloor \frac{p}{a}\rfloor (pmoda{)}^{-1}$

ll ny[MAXN];
void pre_ny()
{
    ny[1] = 1;
    for(int i = 2;i <= n;i++){
        ny[i] = (ll)(p - p / i)*ny[p % i] % p;//p - p / i是为了防止负数 
    }
}

等比数列求和公式

ll sum_mul(ll a1,ll n,ll q)//q > 1时
{
	return ((((qpow(q,n) + p - 1) % p) * fmx(q - 1) % p) * a1) % p;
}

组合数

阶乘逆元

ll jcny[MAXN];
void pre_jcny()
{
    jcny[0] = jcny[1] = 1;
    for(int i = 2;i <= n;i++){
        jcny[i] = (jcny[i - 1] * ny[i]) % p;
    }
}

阶乘

ll jc[MAXN];
void pre_jc()
{
    jc[1] = 1;
    for(int i = 2;i <= n;i++){
        jc[i] = (jc[i - 1] * i) % p;
    }
}

组合数

$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$

$C_n^m=n!(m!{)}^{-1}((n-m)!{)}^{-1}(\mathrm{mod}p)$

ll C(ll n,ll m)
{
	return ((jc[n]*jcny[m])%p)*jcny[n-m])%p;
}

中国剩余定理

用于计算以下形式的同余方程(所有数互素时)

$$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(\mathrm{mod}{n}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{mod}{n}_2)\\ ⋮\\ x\equiv a_k(\mathrm{mod}{n}_k)\end{array}$$

过程：

• 1.计算所有模数的积n
• 2.计算$m_i=\frac{n}{n_i}$
• 3.计算$m_i^{-1}(\mathrm{mod}{n}_i)$
• 4.计算$c_i=m_i{m}_i^{-1}$（不取模）
• 5.$x$=求和$c_i\ast a_i$

int ci[MAXN],ni[MAXN];
ll CRT(int cnt)
{
    ll n = 1,ans = 0;
    for(int i = 1;i <= cnt;i++) n*=ni[i];
    for(int i = 1;i <= cnt;i++)
    {
        ll m = n / ni[i],mm,t;
        exgcd(m,ni[i],mm,t);
        ans = (ans + ci[i]*mm*m%n)%n;
    }
    return (ans%n + n) % n;
}

拓展中国剩余定理

• 中国剩余定理考虑了所有数互质的情况，那么如果不互质，结果为多少呢？

$$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(\mathrm{mod}{n}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{mod}{n}_2)\end{array}$$

• 解方程

$$\{\begin{array}{l}x=a_1+n_1\ast t_1\\ x=a_2+n_2\ast t_2\end{array}$$

• $$a_1-a_2=n_1\ast t_1-n_2\ast t_2$$

• 如果$a_1-a_2$为$gcd(n_1,n_2)$的整数倍，则有解，通过拓展欧几里得求解，然后乘上倍数，在返回带回原来的式子，得到$x\equiv a_1+n_1\ast t_1(\mathrm{mod}lcm(n_1,n_2))$

ll a1 = a[1],n1 = n[1];
bool flag = true;
for(int i = 2;i <= m;i++)
{
	ll a2 = a[i],n2 = n[i],t1,t2;
    exgcd(n1,n2,t1,t2);
    if((a1-a2)%gc!=0)
        flag = false;
    t1 = t1*(a1-a2)/gc;
    x = (n1*t1+x);
    n1 = n1/gc*n2;
    t1 = (t1%n1+n1)%n1;
}

• 可以#define ll __int128以防爆