题解[「JOISC 2017 Day 3」长途巴士]
题目
推荐Loj，有翻译。
Sol
一道不那么容易看出来的DP题。难得一见的\(O(n^2)\)式子难推而且要在单调栈上二分斜率
这道题被用来做模拟赛。wo bao li dou bu hui
首先要把\(n^2\)的式子推出来。
排序，\(S_i\)按\(S_i\%T\)从大到小排 ，每个乘客按\(D_i\)从大到小排。
设\(f_i\)为考虑了前\(i\)个人的最小费用，\(sum_i\) 为 \(1 ～ i\) 乘客 \(C_i\) 的前缀和。
如果我们要把乘客\(i\)送到终点，那么：
\[f_i=f_{i-1}+W(\left\lfloor\dfrac{X-D_i}{T}\right\rfloor+1)
\]
意思是后面\(X-D_i\)的路程都要让他下去接水。
如果我们要一些乘客下车，让\(i\)能刚好留下来 。
假设让\(j \in (0,i) ,j+1～i\)的所有乘客下车：
\[f_i=min(f_i,f_j+(i-j)*W*mn_i+sum_i-sum_j)
\]
\(mn_i\)为到从起点走到特殊的取水点的距离时\(j+1 ～ i\)每个乘客必须要喝水的次数的最小值。
特殊的取水点指的是\(D_i=<S_j\%T<=D_{i+1}\) ，使它能刚好让\(i\)乘客下车。
\[mn_i=min(\left\lfloor\dfrac{S_j}{T}\right\rfloor),D_i=<S_j\%P<=D_{i+1}
\]
好了，到这里我们的\(n^2\)就可以啦。
下放代码。
然后我们开始\(O(nlogn)\)的斜率的推导。
拆掉\(min\) ：
\[f_i=f_j+i*W*mn_i-j*W*mn_i+sum_i-sum_j)
\]
只与\(i\)有关的放一边，只与\(j\)有关的放一边：
\[f_j-sum_j=W*j*mn_i+(f_i-i*W*mn_i)
\]
括号里的是截距，要让\(f_i\)最小，\(i*W*mn_i\)又是定值，那就是让这个截距最小。
设\(x=W*j\)(单调)，斜率\(k=mn_i\) 。
由于\(mn_i\)不单调，所以我们要在单调栈里二分找与\(i\)匹配的斜率。
Y(o)Y！！！
Code
Code1
\(O(n^2)\)
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=200010;
struct xbk{ll d,c;}a[N];
int n,m;
ll X,w,T,s[N],f[N],mn[N],sum[N],ans=1e18;
inline ll read(){
ll w=0;
char ch=getchar();
while(ch>'9'||ch<'0') ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9'){
w=(w<<3)+(w<<1)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return w;
}
inline bool cmp(xbk a,xbk b){return a.d<b.d;}
int main(){
X=read(),n=read(),m=read(),w=read(),T=read();
for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=read();
s[++n]=X;
for(int i=1;i<=m;i++) a[i].d=read(),a[i].c=read();
sort(s+1,s+1+n);
sort(a+1,a+1+m,cmp);
for(int i=1;i<=m;i++) sum[i]=sum[i-1]+a[i].c;
a[m+1].d=1e13;
for(int i=1;i<=m;i++){
mn[i]=1e13;
for(int j=1;j<=n;j++)
if((s[j]%T)>a[i].d&&(s[j]%T)<a[i+1].d){mn[i]=min(mn[i],s[j]/T);}
}
for(int i=1;i<=m;i++){
f[i]=f[i-1]+w*((X-a[i].d)/T+1);
if(mn[i]==1e13) continue;
for(int j=0;j<i;j++)
f[i]=min(f[i],f[j]+w*(i-j)*mn[i]+sum[i]-sum[j]);
}
printf("%lld\n",f[m]+(X/T+1)*w);
return 0;
}
Code2
\(O(nlogn)\)
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=200010;
struct xbk{ll d,c;}a[N];
int n,m,top,stk[N];
ll X,w,T,s[N],f[N],sum[N];
inline ll Y(int i){return f[i]-sum[i];}
inline double K(int i,int j){return (Y(i)-Y(j))/(i-j);}
inline ll read(){
ll w=0;
char ch=getchar();
while(ch>'9'||ch<'0') ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9'){
w=(w<<3)+(w<<1)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return w;
}
inline int getpos(ll val){
int l=1,r=top;
while(l<r){
int mid=(l+r)>>1;
if(K(stk[mid],stk[mid+1])>val) r=mid;
else l=mid+1;
}
return stk[r];
}
inline bool cmp(xbk a,xbk b){return a.d<b.d;}
inline bool cmp1(ll a,ll b){return a%T<b%T;}
int main(){
X=read(),n=read(),m=read(),w=read(),T=read();
for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=read();
s[++n]=X;
for(int i=1;i<=m;i++) a[i].d=read(),a[i].c=read();
sort(s+1,s+1+n,cmp1);
sort(a+1,a+1+m,cmp);
for(int i=1;i<=m;i++) sum[i]=sum[i-1]+a[i].c;
a[m+1].d=1e13;
stk[++top]=0;
for(int i=1,j=0;i<=m;i++){
f[i]=f[i-1]+((X-a[i].d)/T+1)*w;
ll mn=1e13;
while(s[j+1]%T<a[i].d&&j<n) j++;
while(s[j+1]%T<a[i+1].d&&j<n) mn=min(mn,s[++j]/T);
if(mn!=1e13){
int pos=getpos(mn*w);
f[i]=min(f[i],f[pos]+(i-pos)*w*mn+sum[i]-sum[pos]);
}
while(top>1&&K(stk[top],stk[top-1])>K(stk[top],i)) top--;
stk[++top]=i;
}
printf("%lld\n",f[m]+(X/T+1)*w);
return 0;
}
