题解[六省联考 2017] 相逢是问候
题目描述
Informatik verbindet dich und mich.
信息将你我连结。
B 君希望以维护一个长度为 \(n\) 的数组，这个数组的下标为从 \(1\) 到 \(n\) 的正整数。
一共有 \(m\) 个操作，可以分为两种：
$0 $ \(l\) \(r\) ：表示将第 \(l\) 个到第 \(r\) 个数中的每一个数 \(a_i\) 替换为 \(c^{a_i}\)。
\(1\) \(l\) \(r\) ：求第 \(l\) 个到第 \(r\) 个数的和。
Sol
难写又难调的数学题
若能相逢，无需问候。
一些知识点：
1.欧拉函数
2.快速幂
3.线段树
原理别的巨佬已经讲得特别好了，这里主要说一说代码实现。
首先：每一次模数都会变为他自己的欧拉函数，而且这个变换的次数是有限的。
所以一旦模数变成\(1\) ，我们就可以再也不管它了！（怎么有点残忍）
接着：快速幂要提前处理好，但是\(p\)有\(10^8\) ，我们要把这个值域分成两块，查询的时候求积。
还有：线段树查询区间和，暴力修改单点（最多\(nlogn\)次）。
看代码。
预处理部分
\(pow1[i]:c^i\)
\(pow2[i]:c^{10000i}\)
inline void oula(){
ll tmp=P;
phi[0]=P;
while(tmp>1) tmp=Phi(tmp),phi[++mn]=tmp;//处理出所有要用的phi
phi[++mn]=1;
//phi[i]:对P取phi i次得到的值
//pow1[i]:c^i
//pow2[i]:c^{10000*i}
for(int i=0;i<=mn;i++){
pow1[i][0]=1;
for(int j=1;j<=10000;j++){
pow1[i][j]=pow1[i][j-1]*c;
if(pow1[i][j]>=phi[i]) f1[i][j]=1,pow1[i][j]%=phi[i];//超过就打标记
f1[i][j]|=f1[i][j-1];//一旦有一个超过，后面的必然超过
}
}
for(int i=0;i<=mn;i++){
pow2[i][0]=1;
for(int j=1;j<=10000;j++){
pow2[i][j]=pow2[i][j-1]*pow1[i][10000];
if(pow2[i][j]>=phi[i]) f2[i][j]=1,pow2[i][j]%=phi[i];
f2[i][j]|=f2[i][j-1];
}
}
return;
}
快速幂
记得打标记！！！
乘了就要判。
inline ll ksm(ll a,ll b){
ll v1=b%10000,v2=b/10000;
//分成两段
flag|=f1[a][v1]|f2[a][v2];//打标记
ll res=pow1[a][v1]*pow2[a][v2];
if(res>=phi[a]) res%=phi[a],flag=1;//打标记
return res;
}
递归求解
inline ll dfs(int id,int dep,int limit){
flag=0;
if(dep==limit){
if(a[id]>=phi[dep]){
flag=1;//打标记
return a[id]%phi[dep];
}
return a[id];
}
ll now=dfs(id,dep+1,limit);//后面的幂
if(flag) now+=phi[dep+1];//欧拉函数的性质
return ksm(dep,now);
}
Code
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define T (400010)
#define N (10010)
#define NN (50010)
#define M (55)
using namespace std;
struct xbk{int l,r;ll sum,tag;}t[T];
int n,m,mn;
ll P,c,a[NN],pow1[M][N],pow2[M][N],phi[M];
bool flag,f1[M][N],f2[M][N];
inline ll read(){
ll w=0;
char ch=getchar();
while(ch>'9'||ch<'0') ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9'){
w=(w<<3)+(w<<1)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return w;
}
inline ll Phi(ll x){
ll res=x;
for(ll i=2;i*i<=x;i++){
if(x%i==0){
res=res/i*(i-1);
while(x%i==0) x/=i;
}
}
if(x>1) res=res/x*(x-1);
return res;
}
inline void oula(){
ll tmp=P;
phi[0]=P;
while(tmp>1) tmp=Phi(tmp),phi[++mn]=tmp;
phi[++mn]=1;
for(int i=0;i<=mn;i++){
pow1[i][0]=1;
for(int j=1;j<=10000;j++){
pow1[i][j]=pow1[i][j-1]*c;
if(pow1[i][j]>=phi[i]) f1[i][j]=1,pow1[i][j]%=phi[i];
f1[i][j]|=f1[i][j-1];
}
}
for(int i=0;i<=mn;i++){
pow2[i][0]=1;
for(int j=1;j<=10000;j++){
pow2[i][j]=pow2[i][j-1]*pow1[i][10000];
if(pow2[i][j]>=phi[i]) f2[i][j]=1,pow2[i][j]%=phi[i];
f2[i][j]|=f2[i][j-1];
}
}
return;
}
inline ll ksm(ll a,ll b){
ll v1=b%10000,v2=b/10000;
flag|=f1[a][v1]|f2[a][v2];
ll res=pow1[a][v1]*pow2[a][v2];
if(res>=phi[a]) res%=phi[a],flag=1;
return res;
}
inline ll dfs(int id,int dep,int limit){
flag=0;
if(dep==limit){
if(a[id]>=phi[dep]){
flag=1;
return a[id]%phi[dep];
}
return a[id];
}
ll now=dfs(id,dep+1,limit);
if(flag) now+=phi[dep+1];
// cout<<"now="<<now<<endl;
return ksm(dep,now);
}
inline void update(int p){
t[p].sum=(t[p<<1].sum+t[p<<1|1].sum)%P;
t[p].tag=min(t[p<<1].tag,t[p<<1|1].tag);
}
inline void build(int p,int l,int r){
t[p].l=l,t[p].r=r;
if(t[p].l==t[p].r){
t[p].sum=a[l];
t[p].tag=0;
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(p<<1,l,mid);
build(p<<1|1,mid+1,r);
update(p);
}
inline void change(int p,int l,int r){
if(t[p].tag>=mn) return;
if(t[p].l==t[p].r){
t[p].tag++;
t[p].sum=dfs(t[p].l,0,t[p].tag);
// cout<<"p="<<p<<endl;
// cout<<t[p].sum<<endl;
return;
}
int mid=(t[p].l+t[p].r)>>1;
if(l<=mid) change(p<<1,l,r);
if(r>mid) change(p<<1|1,l,r);
update(p);
}
inline ll ask(int p,int l,int r){
if(t[p].l>=l&&t[p].r<=r) return t[p].sum;
int mid=(t[p].l+t[p].r)>>1;
ll res=0;
if(l<=mid) res+=ask(p<<1,l,r);
if(r>mid) res+=ask(p<<1|1,l,r);
return res%P;
}
int main(){
n=read(),m=read(),P=read(),c=read();
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
oula();
build(1,1,n);
for(int i=1;i<=m;i++){
int opt=read(),l=read(),r=read();
if(!opt) change(1,l,r);
else printf("%lld\n",ask(1,l,r));
}
return 0;
}
