回溯法解决八皇后问题

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说明西洋棋中的皇后可以直线前进，吃掉遇到的所有棋子，如果棋盘上有八个皇后，则这八个皇后如何相安无事的放置在棋盘上，1970年与1971年， E.W.Dijkstra与N.Wirth曾经用这个问题来讲解程式设计之技巧。

 

八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出：在8X8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。

解法关于棋盘的问题，都可以用递回求解，然而如何减少递回的次数？在八个皇后的问题中，不必要所有的格子都检查过，例如若某列检查过，该该列的其它格子就不用再检查了，这个方法称为分支修剪。

仔细观察从右上到左下的斜着的列i+j（行+列）的值是2-----9-----16 ，即范围是2~16，这15列可以用数组的元素表示

从左下到右上的斜着的列i-j（行+列）的值是0----- （-7）与 0-----7，即范围是 -7~7，数组索引不能是负数所以加上一个N来使其范围变成 1~15，同样用数组表示这一列

其实上面的两个斜着的列的i与j之间的关系是可以推导出来的，证法如下：

取右上到左下的为例，还记得高中时学的直线的斜率吗？

斜率K=(y1-y2)/(x1-x2)=tan45°=1，所以：x1-x2=y1-y2,即：x1-y1=x2-y2，由于我们选取的坐标系Y轴方向与笛卡尔坐标系反向，所以x1+y1=x2+y2。同理可得到：左下到右上的时候x1-y1=x2-y2 ， 这就是行与列坐标之间的关系。

至于竖着的列很容易理解，直接用一个数组表示，因为是先放置上一行后才放置下一行，所以行不会重复。
好了，下面是代码：

/*
    *******************************************************************************
    时间  ：2014年9月15日 14:10:04
    程序名：八皇后问题.c
    By    ：xxNote
    *******************************************************************************
*/
#include <stdio.h>

#define N 8
int Queen[N+1];//皇后放在哪一列，数组索引从1~N表示从第1行到第N行，Queen[0]没使用，数组元素的值表示相应的列
int Col[N+1];//哪一列可以放置皇后，1表示可以放置，同样，第一个数组元素不使用了，Col[1]~Col[N]表示第1~N列
int Rtl[2*N+1];//右上到左下的斜着的列，哪一列可以放置皇后，Rtl[2]~Rtl[2*N] 表示 i+j=2~16对应的列，Rtl[0]和Rtl[1]没使用
int Ltr[2*N+1];//左上到右下的斜着的列，哪一列可以放置皇后，Ltr[1]~Ltr[2*N-1] 表示 i-j+N=1~15对应的列， Ltr[0]和Ltr[2N]没使用
int Num;//第几个解法
void Place(int i);//放置皇后
void Show(void);//显示放置的方法
int main(void)
{
    int i;

    for (i=1; i<=N; i++)
    {
        Col[i] = 1;
    }

    for (i=2; i<=2*N; i++)
    {
        Rtl[i] = 1;
    }

    for (i=1; i<2*N; i++)
    {
        Ltr[i] = 1;
    }

    Place(1);

    return 0;
}

void Place(int i)
{
    int j;

    if (i > N)
    {
        printf("解法%2d：\n", ++Num);
        Show();
    } 
    else
    {
        for (j=1; j<=N; j++)
        {
            if (Col[j] && Rtl[i+j] && Ltr[i-j+N])
            {
                Queen[i] = j;//放置皇后
                Col[j] = Rtl[i+j] = Ltr[i-j+N] = 0;//位置已经不能放置
                Place(i+1);//放置下一个皇后
                Col[j] = Rtl[i+j] = Ltr[i-j+N] = 1;//位置重新可用
            }
        }
    }

    return;
}

void Show(void)
{
    int i, j;

    for (i=1; i<=N; i++)
    {
        for (j=1; j<=N; j++)
        {
            if (Queen[i] == j)
            {
                printf("Q");
            } 
            else
            {
                printf(" .");
            }
        }
        printf("\n");
    }
    printf("\n");

    return;
}