巴斯卡三角形

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巴斯卡三角形又叫杨辉三角，贾宪三角形 他有以下 性质：

前提：端点的数为1（这不是废话吗，头上那个端点不是1还是三角形吗）

1、每个数等于它上方两数之和。

2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。

3、第n行的数字有n项。

4、第n行数字和为2n-1。

5、第n行的第m个数和第n-m+1个数相等，即C(n-1,m-1)=C(n-1,n-m)（组合数性质之一）

6、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即

7、第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)（n-1下标，m-1上标），即为从n-1个不同

元素中取m-1个元素的组合数。组合数计算方法：C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]

8、(a+b)^n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。

9、将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。

10、将各行数字相排列，可得11的n-1（n为行数）次方：1=11^0; 11=11^1; 121=11^2……;细心的人可能会发现当n≥5时会不符合这一条性质，其实是这样的：把第n行的最右面的数字"1"放在个位，然后把左面的一个数字的个位对齐到十位... ...，以此类推，把空位用“0”补齐，然后把所有的数加起来，得到的数正好是11的n-1次方。以n=11为例，第十一行的数为：1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1；

这些都是百科上面的，还是看图吧 

 有一个有趣的地方我们可以利用：上面的图片和下图等效

 

 

 

观察一下可以发现，n行r列可以表示为,我们对  展开可以得到                             

 

看到红色圈起来的部分了吗，上边和下边是一一对应的，一共有 r 项，现在好办了，可以用一个for循环迭代计算

利用这个for循环可以让i从1，2，3，4...一直取到r ，这样就完成了的计算。

 完整代码如下：

#include <stdio.h>
#define N 12
long combi(int n, int r){
    int i;
    long p = 1;
    for(i = 1; i <= r; i++)
        p = p*(n-i+1) / i;
    return p;
}
int main(void) {
    int n, r;                     //n用来保存行，r用来保存列
    for(n = 0; n <= N; n++) {     //循环输出共N+1行，从第0行，第1行，...，到第N行
        for(r = 0; r <= n; r++) {    //循环输出每列
            int i;
            if(r == 0) {                 //第0列输出一大溜空格，空格数目等于N-n
                for(i = 0; i <= (N-n); i++)
                    printf("   ");
            }else {                 //0列之后，每列前面的空格个数都相等
                printf("   ");
            } 
            printf("%3d", combi(n, r));//输出空格结束之后输出对应列的值
        }
        printf("\n");//每行输出完毕后进行换行
    }

    return 0;
}

 

运行效果：