CF283E. Cow Tennis Tournament

大力响应 teacher 要求。

正难则反，考虑求不合法的三元组的数量。

对于一个不合法的三元组，可以发现条件等价于三元组中有一个点出度为 2。记 \(m\) 次操作后每个点出度为 \(d_i\)，答案就是 \(\dbinom{n}{3}-\sum\limits_{i=1}^n\dbinom{d_i}{2}\)。

那么怎么统计？回忆 \(\mathcal{O}(nm)\) 的做法，数组 \(a_{i,j}\) 表示 \(i,j\) 间边的方向。假设当次修改影响的区间是 \([l,r]\)，那么这个修改就是 \(\forall i,j\in[l,r]\)，\(a_{i,j}\gets a_{i,j}\oplus 1\)。显然可以对 \(j\) 这一维差分。

更进一步的，我们可以对操作应用差分的思想。更具体的，我们枚举 \(i\)，用线段树维护 \(a\) 数组，每个修改 \([l,r]\) 就是在 \(i\) 为 \(l\) 或 \(r+1\) 的时候区间异或一下。时间复杂度 \(\mathcal{O}(n\log n)\)。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define mk make_pair
#define fi first
#define se second
using namespace std;
typedef pair<int,int>pii;
const int inf=1e18; 
inline int read(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while (isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}
struct segtree{
	#define ls p<<1
	#define rs p<<1|1
	#define lson l,mid,ls
	#define rson mid+1,r,rs
	struct Node{
		int s[2],tag;
	}c[400005];
	void pushup(int p){
		for(int i=0;i<2;i++)c[p].s[i]=c[ls].s[i]+c[rs].s[i];
	}
	void pushdown(int l,int r,int p){
		if(!c[p].tag)return;
		int siz=r-l+1,ln=siz-(siz>>1),rn=siz>>1;
		swap(c[ls].s[0],c[ls].s[1]);
		swap(c[rs].s[0],c[rs].s[1]);
		c[ls].tag^=c[p].tag,c[rs].tag^=c[p].tag;
		c[p].tag=0;  
	}
	void build(int l,int r,int p){
		c[p].tag=0;
		if(l==r){
			c[p].s[0]=1,c[p].s[1]=0;
			return;
		}
		int mid=(l+r)>>1;
		build(lson),build(rson);
		pushup(p);
	}
	void update(int l,int r,int p,int L,int R){
		if(L<=l&&r<=R){
			swap(c[p].s[0],c[p].s[1]);
			c[p].tag^=1;
			return;
		}
		int mid=(l+r)>>1;pushdown(l,r,p);
		if(L<=mid)update(lson,L,R);
		if(R>mid)update(rson,L,R);
		pushup(p);
	}
	int query(int l,int r,int p,int L,int R,int o){
		if(L<=l&&r<=R)return c[p].s[o];
		int mid=(l+r)>>1,res=0;pushdown(l,r,p);
		if(L<=mid)res+=query(lson,L,R,o);
		if(R>mid)res+=query(rson,L,R,o);
		return res;
	}
	#undef ls
	#undef rs
	#undef lson
	#undef rson
}Tr;
int h[100005];vector<pii>v[100005];
signed main(){
	int n=read(),m=read(),ans=n*(n-1)*(n-2)/6;
	for(int i=1;i<=n;i++)h[i]=read();
	sort(h+1,h+n+1);h[0]=-inf,h[n+1]=inf;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int l=read(),r=read();
		if(l>h[n]||r<h[1])continue;
		l=lower_bound(h,h+n+1+1,l)-h;
		r=upper_bound(h,h+n+1+1,r)-h-1;
		v[l].push_back(mk(l,r));
		v[r+1].push_back(mk(l,r));
	}
	Tr.build(1,n,1);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(auto x:v[i])Tr.update(1,n,1,x.fi,x.se);
		Tr.update(1,n,1,1,i);
		int cnt=Tr.query(1,n,1,1,n,1)-Tr.query(1,n,1,i,i,1);
		ans-=cnt*(cnt-1)/2;
		Tr.update(1,n,1,1,i);
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}