7月CF杂题

怎么七月了？六月的只写了一道题捏。

Educational Codeforces Round 151 (Rated for Div. 2)

俺寻思能行。

D. Rating System

为什么大家都切那么快捏。

显然 $k$ 一定是 $a$ 数组的一个前缀和。假设 $k=\sum _{i=1}^x{a}_i$，剩下的等价于处理初值为 0 且 $k=0$ 的子问题。我们需要在 $O(1)$ 的时间内解决。

先考虑能不能 $O(n)$。你枚举它最后一个会把它提到 0 的位置，后面的就是后缀和，所以后面那坨的答案就是 $\underset{j=x}{\overset{n}{max}}\left\{\sum _{k=j+1}^n{a}_k\right\}$。维护后缀和最大值就是 $O(1)$ 了。

它为什么是对的？首先 rating 在任意时刻都不会小于 0，所以当当前 rating 为 0 时它就是对的；当 rating 大于 0 时，答案会被算小，但这证明我们可以往前找到第一个 rating 等于 0 的位置，且从那到这一段中的变化量为正，在那个点我们就可以得到这个正确答案。

E. Boxes and Balls

这是一个 $O(n^3)$ 的做法。但它常数极小，加上火车头可以跑进 0.8 秒。

容易发现在最后得到的序列中从左往右第 $i$ 个 1，一定是初始序列中从左往右第 $i$ 个 1，因为它只能相邻交换。所以，一种方案需要走的最少步数，就是对应 1 的位置之差的和。定义 $f_{i,j,k}$ 表示前 $i$ 个格子，有 $j$ 个 1，总共需要走 $k$ 步，有多少满足条件的序列，转移就是枚举当前位置放 0 还是 1。

容易发现对于那些没走满 $k$ 步的方案，如果存在空位，那么你可以“左右横跳”来凑满 $k$ 步。一次最少多走两步，所以多走的步数是 2 的倍数。记 1 的个数为 $c$，最终答案就是 $\sum _{k^{\prime }=0}^k[k^{\prime }\equiv k(\mathrm{mod}2)]\cdot f_{n,c,k^{\prime }}$。

第一维可以压掉，时间复杂度 $O(n^3)$。这样过不了，但是你发现 0 和 1 是等价的，所以上述定义改为 0 也是一样的，你可以选个数少的来 dp。实现再优秀一点就可以跑进 0.8 秒。

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但是这显然不是出题人的意图，考虑再次优化。假设第 $i$ 位的前缀和为 $s_i$，那么这一位最终的前缀和 $j$ 只可能取在 $[s_i-\sqrt{k},s_i+\sqrt{k}]$，因为不论是要把前 $i$ 个数中的 $\sqrt{k}$ 个 1 移出还是把后面的 $\sqrt{k}$ 个 1 加入前 $i$ 个数都至少需要 $k$ 次操作。时间复杂度 $O(nk\sqrt{k})$，实测只用了 0.1 秒。