Lucas/exLucas 定理 学习笔记

0x00 前言

Lucas 定理适用于求在模质数 $p$ 意义下的组合数（exLucas 不需要质数的条件）。此时 $p$ 一般不大，但 $n,m$ 很大，无法通过常规的方法预处理（一是空间可能开不下，二是如果 $m>p$，则 $n-m$ 和 $m$ 不一定有逆元）。

当然你可以用杨辉三角递推，但这是 $\mathcal{O}(n^2)$ 的。

0x01 方法

先上结论，当 $p$ 为质数时，有 ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})}\equiv {\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{\lfloor {\displaystyle \frac{n}{p}}\rfloor }{\lfloor {\displaystyle \frac{m}{p}}\rfloor })}\times {\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{nmodp}{mmodp})}(\mathrm{mod}p)$。当 $n<m$ 时，规定 ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})}=0$。

0x02 原理

就是证明这个柿子。

引理：若 $x$ 是小于质数 $p$ 的正整数，则 ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{x})}\equiv 0(\mathrm{mod}p)$。

证明：因为 $x<p$，则 $x$ 存在关于 $p$ 的逆元。那么有 ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{x})}\equiv {\displaystyle \frac{p!}{x!(p-x)!}}\equiv {\displaystyle \frac{(p-1)!}{(x-1)!(p-x)!}}\times {\displaystyle \frac{p}{x}}\equiv {\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{p-1}{x-1})}\times p\times \text{inv}(x)(\mathrm{mod}p)$，得证。

根据二项式定理，得到 $(1+x{)}^n=\sum _{i=0}^n{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}{x}^i\equiv 1+x^n(\mathrm{mod}p)$ 。

令 $p_n=\lfloor {\displaystyle \frac{n}{p}}\rfloor ,q_n=nmodp,p_m=\lfloor {\displaystyle \frac{m}{p}}\rfloor ,q_m=mmodp$。

$$\begin{array}{rl}(1+x{)}^n& =(1+x{)}^{p_{n}p+q_n}\\ & \equiv (1+x^p{)}^{p_n}(1+x{)}^{q_n}\\ & =\sum _{i=0}^{p_n}\sum _{j=0}^{q_n}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{p_n}{i})}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{q_n}{j})}{x}^{ip+j}\\ & =\sum _{m=0}^n{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{p_n}{p_m})}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{q_n}{q_m})}{x}^m\\ & \equiv \sum _{m=0}^n{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})}{x}^m\end{array}$$

对比系数就可以得到上式。

0x03 实现

可以通过递归的方式实现。

点击查看代码

int C(int n,int m,int p){
	if(n<0||m<0||n-m<0)return 0;
	return jc[n]*ij[m]%p*ij[n-m]%p;
}
int Lucas(int n,int m,int p){
	if(n==0)return 1;
	return Lucas(n/p,m/p,p)*C(n%p,m%p,p)%p;
}

时间复杂度 $\mathcal{O}(p+{\log }_{p}n)$（线性预处理 $p$ 以内的逆元）。

0x04 拓展

当 $p$ 不为质数时，需要用到 exLucas 定理。

待补。https://oi.wiki/math/number-theory/lucas/

0x05 应用

P3807 【模板】卢卡斯定理/Lucas 定理

板。

P1313 [NOIP2011 提高组] 计算系数

二项式定理。