主席树 学习笔记

考试的时候用到了，顺便学习一下。

upd：2023.04.21 终于把坑填了。

0x00 前言

主席树（又称可持久化线段树，函数式线段树）是一种常用的数据结构。它以保存每次修改时的历史版本为主要思想，拥有大量的应用场景（可持久化 trie/并查集/数组 $\dots$）（当然，常数也是很大的）。

0x01 引入

例题：HDU2665/Acwing 255. 第K小数/P3834 【模板】可持久化线段树 2 $\dots$

题意：静态查询区间第 $k$ 大。

区间固定怎么做？建一棵权值线段树，每次线段树上二分。

区间不固定怎么做？延续上述思想，对每个点维护前缀的权值线段树。查询 $[l,r]$ 中不大于 k 的个数等价于 $[1,r]$ 的减去 $[1,l-1]$ 的（也就是说，答案具有可减性）。

但是空间是 $4n^2$ 的，开不下怎么办？

0x02 优化

思考如何节省空间：因为维护的值域范围不会变化，所以每棵线段树划分值域的方式是相同的。一次单点修改只会影响树上一条链的值，至多 $\log n$ 个节点：因此，可以在保留上一个版本不变区间的基础上更改 $\log n$ 个节点作为新版本。动态开点，保存每个版本的根节点就可以实现持久化了。

从 oi-wiki 上偷来的图：

总结一下，主席树维护的信息需要满足可减性，对每个点维护前缀共 $n$ 个版本，每个版本在上一个版本的基础上更改 $\log n$ 个节点，在动态开点的同时记录每个版本的根节点，查询时对两个版本作差得到答案。

0x03 实现

优美！

P3834 【模板】可持久化线段树 2

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int inf=1e18;
inline int read(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while (isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}
int root[200005];
struct segtree{
	#define ls c[p].lc
	#define rs c[p].rc
	#define lson l,mid,ls
	#define rson mid+1,r,rs
	struct Node{
		int c,lc,rc;
	}c[5000005];
	int T;
	void pushup(int p){
		c[p].c=c[ls].c+c[rs].c;
	}
	int build(int l,int r){
		int p=++T;
		if(l==r){c[p].c=0;return p;}
		int mid=(l+r)>>1;
		ls=build(l,mid),rs=build(mid+1,r);
		pushup(p);return p;
	}
	int update(int l,int r,int q,int x,int k){
		int p=++T;c[p]=c[q];
		if(l==r){c[p].c+=k;return p;}
		int mid=(l+r)>>1;
		if(x<=mid)ls=update(l,mid,c[q].lc,x,k);
		else rs=update(mid+1,r,c[q].rc,x,k);
		pushup(p);return p;
	}
	int kth(int l,int r,int p,int q,int k){
		if(l==r)return l;
		int mid=(l+r)>>1;
		if(k<=c[c[q].lc].c-c[ls].c)return kth(lson,c[q].lc,k);
		else return kth(rson,c[q].rc,k-(c[c[q].lc].c-c[ls].c));
	}
	#undef ls
	#undef rs
	#undef lson
	#undef rson
}Tr;
int a[200005],b[200005];
signed main(){
	int n=read(),m=read(),tot=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=b[++tot]=read();
	sort(b+1,b+tot+1);tot=unique(b+1,b+tot+1)-b-1;
	for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=lower_bound(b+1,b+tot+1,a[i])-b;
	root[0]=Tr.build(1,tot);
	for(int i=1;i<=n;i++)root[i]=Tr.update(1,tot,root[i-1],a[i],1);
	while(m--){
		int l=read(),r=read(),k=read();
		printf("%lld\n",b[Tr.kth(1,tot,root[l-1],root[r],k)]);
	}
	return 0;
}

0x04 应用

主席树能做的题太多，且很多题在各大 oj 上都有，题单有点乱、也不太全，就这样吧。

0x05 总结

空间别开太大，也别开太小。

注意查询 $[l,r]$ 时是 $r$ 和 $l-1$ 两个版本相减（不是 l）。

常数大有的时候挺致命的。