3月CF杂题
Codeforces Round 853 (Div. 2)
打的 VP。
E. Serval and Music Game
妙妙题。枚举 \(x\)，思考如何快速计算 \(f(x)\) 的值。
对于 \(x\) 是 \(s_n\) 因数的情况，有 \(\left\lfloor\frac{s_n}{x}\right\rfloor=\left\lceil\frac{s_n}{x}\right\rceil=\frac{s_n}{x}\)。令 \(k=\frac{s_n}{x}\)，则 \(s_i=(p_i+q_i)k\)，相当是求 \(s_i\) 里面有几个是 \(k\) 的倍数。记 \(t_i=\gcd(s_i,s_n)\)，因为 \(k\) 一定是 \(s_n\) 的因数，也要是 \(s_i\) 的因数，那么 \(k\) 一定是 \(t_i\) 的因数，可以转化成求有几个 \(t_i\) 是 \(k\) 的倍数。根据定义可知 \(t_i\) 是 \(s_n\) 的因数，考虑枚举 \(s_n\) 的因数来计算答案。这种情况最多出现 \(\sqrt s_n\) 次，每次枚举是 \(\sqrt s_n\) 的，总时间复杂度 \(\mathcal{O}(s_n)\)，预处理 \(\gcd\) 为 \(\mathcal{O}(n\log s_n)\)（应该可以基于值域快速预处理）。
对于 \(x\) 不是 \(s_n\) 因数的情况，有 \(\left\lfloor\frac{s_n}{x}\right\rfloor+1=\left\lceil\frac{s_n}{x}\right\rceil\)。令 \(k=\left\lfloor\frac{s_n}{x}\right\rfloor\)，则 \(s_i=(p_i+q_i)k+q_i\)。此时有一个重要的性质：一个数 \(s_i\) 不能被表示出来当且仅当 \(s_i\bmod k>\left\lfloor\frac{s_i}{k}\right\rfloor\)。证明如下：假如一个数 \(s_i\bmod k>\left\lfloor\frac{s_i}{k}\right\rfloor\)，那么有 \(q_i\bmod k=s_i\bmod k>\left\lfloor\frac{s_i}{k}\right\rfloor\ge\frac{s_i}{k+1}\ge q_i\)，矛盾；假如已经有 \(s_i\bmod k\le\left\lfloor\frac{s_i}{k}\right\rfloor\)，可以这样构造：\(q_i=s_i\bmod k,p_i=\left\lfloor\frac{s_i}{k}\right\rfloor?q_i\)。
所以我们可以通过减去 \([1,k-1],[k+2,2k-1]\ldots[(i-1)k+i,ik-1]\ldots[(k-2)k+(k-1),(k-1)k-1]\) 这些区间内的数来计算 \(f(x)\)。可以证明这样是 \(\mathcal{O}(s_n)\) 的：当 \(k\le\sqrt s_n\) 时，区间至多会有 \(k-1\) 个；当 \(k>\sqrt s_n\) 时，\(\left\lfloor\frac{s_n}{k}\right\rfloor\le\sqrt s_n\)，故区间不会超过 \(\sqrt s_n\) 个。而不管是哪种情况，\(k\) 的取值都不会超过 \(\sqrt s_n\) 种，故总时间复杂度为 \(\mathcal{O}(s_n)\)。
F. Serval and Brain Power
妙妙题 +1。
对 \(k\ge5\) 的情况，我们把整个序列分成 5 段，那么 T 一定是至少一段的子序列（不懂可以手玩一下）。枚举每一段的子序列，查找 S 内包含个数，时间复杂度 \(\mathcal{O}(5\times2^{\frac{|S|}{5}}\times|S|)\)。对于 \(k<5\) 的情况，我们只用考虑 \(k=2\) 或 \(k=3\)（因为 \(k=4\) 包含在 \(k=2\) 里面）。枚举断点把 S 分成 \(k\) 段，对这 \(k\) 段求 LCS 即可。\(k=3\) 时时间复杂度为 \(\mathcal{O}(w\times|S|^{5})\)，其中 \(w\) 是一个极小的常数。
证明一下 \(w\) 的大小。考虑以下问题：求排列 \(n\) 个白色球和 5 个黑色球的方案数。白球表示字符串的字母，第 2、4 个黑球表示我们将字符串分成 3 部分的位置，第1、3、5个黑球表示我们在 DP 中枚举转移的位置。因此，在球的顺序和所有 DP 状态之间有一个映射。球的顺序数为 \(\dbinom{n+5}{5}\)，因此 \(w=5!=\frac{1}{120}\)（实际上我们还没有计算分割成空串的情况，所以 \(w\) 甚至比这个小一点）。
Codeforces Round 857 (Div. 2)
md ，忍不了了，一拳把像马奇诺防线一样坚固的 pretest 打爆。
图片来源：我也不知道。
C. The Very Beautiful Blanket
题意：让你构造一个 \(n\times m\) 的矩阵，满足矩阵内不同元素数量最多，且对于其任意一个 \(4\times 4\) 的子矩阵 \(a\)，满足：
\(n,m\le200\)。
瞪眼可得最多种类为 \(n\times m\)。有一种简单的构造方式：\(a_{i,j}=i\times2^{32}+j\)。
E. Music Festival
题意：有 \(n\) 个数组，第 \(i\) 个里面有 \(k_i\) 个元素。现在让你把 \(n\) 个数组以任意顺序连接起来，使得得到的新数组价值最大。定义长度为 \(m\) 的数组 \(a\) 的价值为 \(\sum\limits_{i=1}^m(a_i>\max\limits_{j=1}^{i-1}a_j)\)。\(n,\sum k_i\le2\times10^5\)。
定义 \(\text{lim}_i\) 表示 \(\max\limits_{j=1}^{k_i}a_{i,j}\)，显然我们这样可以使得到的价值最大：先按 \(\text{lim}_i\) 从小到大排序，再从中选取一些数组连接，最后把其余的放到最后。因为你任意排列得到的答案中，有贡献的子结构一定会在这样构造的方案中出现。注意这里我们只是确定了会产生贡献的数组的相对顺序，并不是答案一定是这样排列的。比如这种情况：
定义 \(f_i\) 表示当前选择的结尾为第 \(i\) 个数组的最大贡献，有转移方程 \(f_i=\max\limits_{j=1}^{k_i}(\max\limits_{l=1}^{i-1}f_l+cnt_{i,j})\)，其中 \(cnt_{i,j}\) 等于 \(\sum\limits_{x=j}^{k_i}(a_{i,x}>\max\limits_{y=1}^{x-1}a_{i,y})\)。显然最大值可以线段树维护。
upd：傻逼了，这个直接记一个前缀最大值就行了，根本不需要线段树。
F. The way home
题意：给一个有向图，每条边需要一定的钱。你可以在第 \(i\) 个点卖艺来赚取 \(w_i\) 块钱。初始在节点 1，身上有 \(p\) 块钱，要去往节点 \(n\)，求最小卖艺次数。\(n\le800,m\le3000,p,w_i\le10^9\)。
因为卖艺没有次数限制，我们卖艺一定是在沿途 \(w\) 最大的地方。定义 \(f_{i,j}\) 表示从 1 走到 \(i\)，且沿路经过的 \(w\) 最大的节点为 \(j\) 的最少卖艺次数和最大剩余钱数。从 1 跑一遍 dijkstra ，如果去下一个点的钱不够就在 \(j\) 卖艺。记得更新 \(j\) 的值（注意我们应该先卖艺再更新，因为你的钱还不够到达下一个点）。
Codeforces Round 858 (Div. 2)
VP 罚时吃饱饱。
C. Sequence Master
题意：给定一个长为 \(2n\) 的数列 \(a\)，你需要构造一个长为 \(2n\) 的数列 \(b\)（正负没有限制），满足把 \(b\) 任意分成大小为 \(n\) 的两组，都有其中一组的乘积等于另一组的和。求最小的 \(\sum\limits_{i=1}^{2n}\left|a_i-b_i\right|\)。
手玩可以发现只有如下情况：
-
全是 0；
-
\(n=1\) 时全为一个数；
-
\(n=2\) 时全为 2；
-
\(n\) 为偶数时有一个 \(n\) 和 \(2n-1\) 个 -1。
D. DSU Master
题意是最大障碍。
题意：
E. Tree Master
题意：一棵大小为 \(n\) 的树，\(i\) 的点权为 \(a_i\)。\(q\) 次询问，给定 \((x,y)\)，求 \(\sum\limits_{i=0}^{d_x}a_{p_{x,i}}*a_{p_{y,i}}\)，其中 \(d_x\) 表示 \(x\) 的深度，\(p_{x,i}\) 表示 \(x\) 的 \(i\) 级祖先，保证 \(d_x=d_y\)。\(n,q,a_i\le10^5\) 。
暴力怎么做？直接模拟这个过程。直接记忆化需要 map 或 hash，会被卡，考虑随机记忆化一部分答案。我的方法是只记录 \(x\) 是 400 倍数的 \((x,y)\) 的答案，题解是只记录满足与 \((x,y)\) 同样深度的点数不超过 \(\sqrt n\) 的点对的答案。
Educational Codeforces Round 145 (Rated for Div. 2)
\(s_{i+1}\) 打成 \(s_{i-1}\)，罚时吃饱饱。
D. Binary String Sorting
题意：给一个 01 串，有两个操作：花 \(10^{12}\) 的代价交换相邻两数，花 \(10^{12}+1\) 的代价删除一个数。求让这个串单调不减的最小代价。\(n\le3\times10^5\)。
最后的序列是一个前 0 后 1 的形式，考虑枚举 01 分界点，交换产生的位移至多为 1（因为大于 1 时不如删），且两边的多余的数肯定是直接删最划算。故枚举是否交换，答案直接算。复杂度 \(\mathcal{O}(n)\)。
E. Two Tanks
题意：有两个容量为 \(a,b\)，初始水量为 \(c,d\) 的水箱，有 \(n\) 次形如从一个往另一个倒水的操作，求对于所有的 \(0\le c\le a,0\le d\le b\)，求出操作后第一个水箱中剩的水量。\(n\le10^4,a,b\le10^3\)。注：假设现在两水箱分别有 x,y 的水，当次操作为“从 1 向 2 倒 \(z\) 的水”，则实际倒水量为 \(\min(x,b-y,z)\)。
因为水不会溢出，考虑枚举 \(s\) 表示水的总量。发现对于一些 \(c=i,d=s-i\) 的情况，假如它们在某次操作后 1 被倒空或倒满，则最后答案相同，故显然对于所有 \(c+d=s\) 的 \(c,d\)，答案画成函数是这样的：
其中 \(L,R\) 表示 1 中水量的上下界，\(lb,rb\) 是函数的分界点，它们可以直接模拟过程计算。时间复杂度 \(\mathcal{O}(n(a+b))\)。
F. Traveling in Berland
题意：\(n\) 个点的环，从 \(i\) 到 \((i+1)\bmod n+1\) 耗油 \(a_i\)，单位价格为 \(b_i\)，油箱容量为 \(k\)，初始为空，求每个点作为起点和终点的最小代价。\(n\le2\times10^5,a_i\le k,1\le b_i\le2\)。
Codeforces Round 861 (Div. 2)
C. Unlucky Numbers
题意：定义一个数的幸运值为其最大的一位数码与最小的之差。求 \([l,r]\) 里最不幸的数。\(l,r\le10^{18}\)。
如果 \(l,r\) 数位不同，则一定可以取到幸运值为 0；反之，考虑枚举幸运值和每位数的取值范围，类似数位 dp 那样求一下即可。
D. Petya, Petya, Petr, and Palindromes
题意：定义数组的代价为使其变成回文串的最小改动次数，求数列 \(a\) 的所有长度为 \(k\) 的子串的代价。\(n,k,a_i\le2\times10^5\)，\(k\) 是奇数。
正难则反。对于 \(i<j\)，\((i,j)\) 不会产生代价当且仅当 \(\begin{cases}a_i=a_j\\i\equiv j\pmod2\\j-i+1\le k\\ \frac{k+1}{2}\le\frac{i+j}{2}\le n-\frac{k+1}{2}+1\end{cases}\)，可以直接计算。
E1. Minibuses on Venus (easy version)
题意：一个长度为 \(n\) 且 \(a_i\in[0,k-1]\) 的数组 \(a\) 是好的当且仅当存在 \(i\) 满足 \(a_i\equiv\sum\limits_{j=1\land j\neq i}^na_j\pmod k\)，求有多少个长度为 \(n\) 的好的 \(a\) 数组，答案对质数 \(m\) 取模。\(n\le1000,k\le30,10^8\le m\le10^9+7\)。
条件等价于 \(2a_i\equiv\sum\limits_{j=1}^na_j\pmod k\)，枚举 \(a_i\) 和总和的值，定义 \(f_{i,j,0/1}\) 表示前 \(i\) 位和为 \(j\)，是否用了 \(a_i\) 的值，答案就是 \(\sum f_{n,j,1}\)。时间复杂度 \(\mathcal{O}(nk^3)\)。
