3月CF杂题

Codeforces Round 853 (Div. 2)

打的 VP。

E. Serval and Music Game

妙妙题。枚举 $x$，思考如何快速计算 $f(x)$ 的值。

对于 $x$ 是 $s_n$ 因数的情况，有 $\lfloor \frac{s_n}{x}\rfloor =\lceil \frac{s_n}{x}\rceil =\frac{s_n}{x}$。令 $k=\frac{s_n}{x}$，则 $s_i=(p_i+q_i)k$，相当是求 $s_i$ 里面有几个是 $k$ 的倍数。记 $t_i=gcd(s_i,s_n)$，因为 $k$ 一定是 $s_n$ 的因数，也要是 $s_i$ 的因数，那么 $k$ 一定是 $t_i$ 的因数，可以转化成求有几个 $t_i$ 是 $k$ 的倍数。根据定义可知 $t_i$ 是 $s_n$ 的因数，考虑枚举 $s_n$ 的因数来计算答案。这种情况最多出现 ${\sqrt{s}}_n$ 次，每次枚举是 ${\sqrt{s}}_n$ 的，总时间复杂度 $\mathcal{O}(s_n)$，预处理 $gcd$ 为 $\mathcal{O}(n\log s_n)$（应该可以基于值域快速预处理）。

对于 $x$ 不是 $s_n$ 因数的情况，有 $\lfloor \frac{s_n}{x}\rfloor +1=\lceil \frac{s_n}{x}\rceil$。令 $k=\lfloor \frac{s_n}{x}\rfloor$，则 $s_i=(p_i+q_i)k+q_i$。此时有一个重要的性质：一个数 $s_i$ 不能被表示出来当且仅当 $s_{i}modk>\lfloor \frac{s_i}{k}\rfloor$。证明如下：假如一个数 $s_{i}modk>\lfloor \frac{s_i}{k}\rfloor$，那么有 $q_{i}modk=s_{i}modk>\lfloor \frac{s_i}{k}\rfloor \ge \frac{s_i}{k+1}\ge q_i$，矛盾；假如已经有 $s_{i}modk\le \lfloor \frac{s_i}{k}\rfloor$，可以这样构造：$q_i=s_{i}modk,p_i=\lfloor \frac{s_i}{k}\rfloor ?q_i$。

所以我们可以通过减去 $[1,k-1],[k+2,2k-1]\dots [(i-1)k+i,ik-1]\dots [(k-2)k+(k-1),(k-1)k-1]$ 这些区间内的数来计算 $f(x)$。可以证明这样是 $\mathcal{O}(s_n)$ 的：当 $k\le {\sqrt{s}}_n$ 时，区间至多会有 $k-1$ 个；当 $k>{\sqrt{s}}_n$ 时，$\lfloor \frac{s_n}{k}\rfloor \le {\sqrt{s}}_n$，故区间不会超过 ${\sqrt{s}}_n$ 个。而不管是哪种情况，$k$ 的取值都不会超过 ${\sqrt{s}}_n$ 种，故总时间复杂度为 $\mathcal{O}(s_n)$。

F. Serval and Brain Power

妙妙题 +1。

对 $k\ge 5$ 的情况，我们把整个序列分成 5 段，那么 T 一定是至少一段的子序列（不懂可以手玩一下）。枚举每一段的子序列，查找 S 内包含个数，时间复杂度 $\mathcal{O}(5\times 2^{\frac{|S|}{5}}\times |S|)$。对于 $k<5$ 的情况，我们只用考虑 $k=2$ 或 $k=3$（因为 $k=4$ 包含在 $k=2$ 里面）。枚举断点把 S 分成 $k$ 段，对这 $k$ 段求 LCS 即可。$k=3$ 时时间复杂度为 $\mathcal{O}(w\times |S{|}^5)$，其中 $w$ 是一个极小的常数。

证明一下 $w$ 的大小。考虑以下问题：求排列 $n$ 个白色球和 5 个黑色球的方案数。白球表示字符串的字母，第 2、4 个黑球表示我们将字符串分成 3 部分的位置，第1、3、5个黑球表示我们在 DP 中枚举转移的位置。因此，在球的顺序和所有 DP 状态之间有一个映射。球的顺序数为 ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n+5}{5})}$，因此 $w=5!=\frac{1}{120}$（实际上我们还没有计算分割成空串的情况，所以 $w$ 甚至比这个小一点）。

Codeforces Round 857 (Div. 2)

md ，忍不了了，一拳把像马奇诺防线一样坚固的 pretest 打爆。

图片来源：我也不知道。

C. The Very Beautiful Blanket

题意：让你构造一个 $n\times m$ 的矩阵，满足矩阵内不同元素数量最多，且对于其任意一个 $4\times 4$ 的子矩阵 $a$，满足：

$$a_{1,1}\oplus a_{1,2}\oplus a_{2,1}\oplus a_{2,2}=a_{3,3}\oplus a_{3,4}\oplus a_{4,3}\oplus a_{4,4}$$

$$a_{1,3}\oplus a_{1,4}\oplus a_{2,3}\oplus a_{2,4}=a_{3,1}\oplus a_{3,2}\oplus a_{4,1}\oplus a_{4,2}$$

$n,m\le 200$。

瞪眼可得最多种类为 $n\times m$。有一种简单的构造方式：$a_{i,j}=i\times 2^{32}+j$。

E. Music Festival

题意：有 $n$ 个数组，第 $i$ 个里面有 $k_i$ 个元素。现在让你把 $n$ 个数组以任意顺序连接起来，使得得到的新数组价值最大。定义长度为 $m$ 的数组 $a$ 的价值为 $\sum _{i=1}^m(a_i>\underset{j=1}{\overset{i-1}{max}}{a}_j)$。$n,\sum k_i\le 2\times {10}^5$。

定义 ${\text{lim}}_i$ 表示 $\underset{j=1}{\overset{k_i}{max}}{a}_{i,j}$，显然我们这样可以使得到的价值最大：先按 ${\text{lim}}_i$ 从小到大排序，再从中选取一些数组连接，最后把其余的放到最后。因为你任意排列得到的答案中，有贡献的子结构一定会在这样构造的方案中出现。注意这里我们只是确定了会产生贡献的数组的相对顺序，并不是答案一定是这样排列的。比如这种情况：

定义 $f_i$ 表示当前选择的结尾为第 $i$ 个数组的最大贡献，有转移方程 $f_i=\underset{j=1}{\overset{k_i}{max}}(\underset{l=1}{\overset{i-1}{max}}{f}_l+cn{t}_{i,j})$，其中 $cn{t}_{i,j}$ 等于 $\sum _{x=j}^{k_i}(a_{i,x}>\underset{y=1}{\overset{x-1}{max}}{a}_{i,y})$。显然最大值可以线段树维护。

upd：傻逼了，这个直接记一个前缀最大值就行了，根本不需要线段树。

F. The way home

题意：给一个有向图，每条边需要一定的钱。你可以在第 $i$ 个点卖艺来赚取 $w_i$ 块钱。初始在节点 1，身上有 $p$ 块钱，要去往节点 $n$，求最小卖艺次数。$n\le 800,m\le 3000,p,w_i\le {10}^9$。

因为卖艺没有次数限制，我们卖艺一定是在沿途 $w$ 最大的地方。定义 $f_{i,j}$ 表示从 1 走到 $i$，且沿路经过的 $w$ 最大的节点为 $j$ 的最少卖艺次数和最大剩余钱数。从 1 跑一遍 dijkstra ，如果去下一个点的钱不够就在 $j$ 卖艺。记得更新 $j$ 的值（注意我们应该先卖艺再更新，因为你的钱还不够到达下一个点）。

Codeforces Round 858 (Div. 2)

VP 罚时吃饱饱。

C. Sequence Master

题意：给定一个长为 $2n$ 的数列 $a$，你需要构造一个长为 $2n$ 的数列 $b$（正负没有限制），满足把 $b$ 任意分成大小为 $n$ 的两组，都有其中一组的乘积等于另一组的和。求最小的 $\sum _{i=1}^{2n}|a_i-b_i|$。

手玩可以发现只有如下情况：

• 全是 0；

• $n=1$ 时全为一个数；

• $n=2$ 时全为 2；

• $n$ 为偶数时有一个 $n$ 和 $2n-1$ 个 -1。

D. DSU Master

题意是最大障碍。

题意：

E. Tree Master

题意：一棵大小为 $n$ 的树，$i$ 的点权为 $a_i$。$q$ 次询问，给定 $(x,y)$，求 $\sum _{i=0}^{d_x}{a}_{p_{x,i}}\ast a_{p_{y,i}}$，其中 $d_x$ 表示 $x$ 的深度，$p_{x,i}$ 表示 $x$ 的 $i$ 级祖先，保证 $d_x=d_y$。$n,q,a_i\le {10}^5$ 。

暴力怎么做？直接模拟这个过程。直接记忆化需要 map 或 hash，会被卡，考虑随机记忆化一部分答案。我的方法是只记录 $x$ 是 400 倍数的 $(x,y)$ 的答案，题解是只记录满足与 $(x,y)$ 同样深度的点数不超过 $\sqrt{n}$ 的点对的答案。

Educational Codeforces Round 145 (Rated for Div. 2)

$s_{i+1}$ 打成 $s_{i-1}$，罚时吃饱饱。

D. Binary String Sorting

题意：给一个 01 串，有两个操作：花 ${10}^{12}$ 的代价交换相邻两数，花 ${10}^{12}+1$ 的代价删除一个数。求让这个串单调不减的最小代价。$n\le 3\times {10}^5$。

最后的序列是一个前 0 后 1 的形式，考虑枚举 01 分界点，交换产生的位移至多为 1（因为大于 1 时不如删），且两边的多余的数肯定是直接删最划算。故枚举是否交换，答案直接算。复杂度 $\mathcal{O}(n)$。

E. Two Tanks

题意：有两个容量为 $a,b$，初始水量为 $c,d$ 的水箱，有 $n$ 次形如从一个往另一个倒水的操作，求对于所有的 $0\le c\le a,0\le d\le b$，求出操作后第一个水箱中剩的水量。$n\le {10}^4,a,b\le {10}^3$。注：假设现在两水箱分别有 x,y 的水，当次操作为“从 1 向 2 倒 $z$ 的水”，则实际倒水量为 $min(x,b-y,z)$。

因为水不会溢出，考虑枚举 $s$ 表示水的总量。发现对于一些 $c=i,d=s-i$ 的情况，假如它们在某次操作后 1 被倒空或倒满，则最后答案相同，故显然对于所有 $c+d=s$ 的 $c,d$，答案画成函数是这样的：

其中 $L,R$ 表示 1 中水量的上下界，$lb,rb$ 是函数的分界点，它们可以直接模拟过程计算。时间复杂度 $\mathcal{O}(n(a+b))$。

F. Traveling in Berland

题意：$n$ 个点的环，从 $i$ 到 $(i+1)modn+1$ 耗油 $a_i$，单位价格为 $b_i$，油箱容量为 $k$，初始为空，求每个点作为起点和终点的最小代价。$n\le 2\times {10}^5,a_i\le k,1\le b_i\le 2$。

Codeforces Round 861 (Div. 2)

C. Unlucky Numbers

题意：定义一个数的幸运值为其最大的一位数码与最小的之差。求 $[l,r]$ 里最不幸的数。$l,r\le {10}^{18}$。

如果 $l,r$ 数位不同，则一定可以取到幸运值为 0；反之，考虑枚举幸运值和每位数的取值范围，类似数位 dp 那样求一下即可。

D. Petya, Petya, Petr, and Palindromes

题意：定义数组的代价为使其变成回文串的最小改动次数，求数列 $a$ 的所有长度为 $k$ 的子串的代价。$n,k,a_i\le 2\times {10}^5$，$k$ 是奇数。

正难则反。对于 $i<j$，$(i,j)$ 不会产生代价当且仅当 $\{\begin{array}{l}{a}_i=a_j\\ i\equiv j(\mathrm{mod}2)\\ j-i+1\le k\\ \frac{k+1}{2}\le \frac{i+j}{2}\le n-\frac{k+1}{2}+1\end{array}$，可以直接计算。

E1. Minibuses on Venus (easy version)

题意：一个长度为 $n$ 且 $a_i\in [0,k-1]$ 的数组 $a$ 是好的当且仅当存在 $i$ 满足 $a_i\equiv \sum _{j=1\wedge j\ne i}^n{a}_j(\mathrm{mod}k)$，求有多少个长度为 $n$ 的好的 $a$ 数组，答案对质数 $m$ 取模。$n\le 1000,k\le 30,{10}^8\le m\le {10}^9+7$。

条件等价于 $2a_i\equiv \sum _{j=1}^n{a}_j(\mathrm{mod}k)$，枚举 $a_i$ 和总和的值，定义 $f_{i,j,0/1}$ 表示前 $i$ 位和为 $j$，是否用了 $a_i$ 的值，答案就是 $\sum f_{n,j,1}$。时间复杂度 $\mathcal{O}(n{k}^3)$。