线性基 学习笔记
0x00 前言
在信息学中，我们经常需要解决一些类似“选一些数让它们的异或和最大”的问题。这时，我们就需要用线性基来解决。
0x01 定义
注：下文中除非特殊说明，集合均指「无符号整数集」。
线性空间
可以简单地理解为一个集合。
生成子集
设 \(T\subseteq S\) ，所有这样的子集 \(T\) 的异或和组成的集合称为集合 \(S\) 的生成子集。
更形象地， \(S\) 的生成子集就是在 \(S\) 中选出任意个数，其异或和的所有可能的结果组成的集合。
线性相关
对于集合 \(S\) ，如果其中存在一个元素 \(x\) ，使得 \(S\) 在去除这个元素后得到的集合 \(S'\) 的生成子集中包含 \(x\) ，则称 \(S\) 线性相关；反之，称 \(S\) 线性无关。
更形象地，若集合 \(S\) 存在一个元素可以用其它若干个元素异或起来得到，则称 \(S\) 线性相关，反之无关。
线性基
线性无关的生成子集称为线性空间的基底，称为基（另一种定义是线性空间的极大线性无关子集）。
0x02 实现
插入
一般来说，我们常常采用动态插入元素的方法来构造线性基。即不断向已经得到的线性基里加入新元素，如果它可以被其他元素异或出来则舍去。
这里将介绍学习自 Pecco 的一种很优美且简洁的写法：
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struct LB{
vector<int>B;
void insert(int x){
for(auto b:B)x=min(x,b^x);
for(auto &b:B)b=min(b,b^x);
if(x)B.push_back(x);
}
};
这样构造出的集合，不仅满足任意元素都不能被其他元素异或出来的性质，它还有更好的性质：每个元素的最高有效位各不相同，且如果某一位是一个元素的最高有效位，则其他元素在这一位均为 0。这个性质可以归纳地证明：
空集时，这一性质显然成立；当向具有此性质的集合插入新元素时，如果你可以通过异或上其中一个数 \(b\) 使 \(x\) 变小，说明 \(x\) 在 \(b\) 这一位是 1。为了消掉这一位，此时你一定要异或。
于是一路贪心下去可以得到 \(x\) 与集合内元素的组合异或的最小值。如果最小值是 0，说明 \(x\) 可以被异或出来；否则 \(x\) 的最高有效位一定与其他元素各不相同，于是把它也插入集合，并把原集合中所有元素这一位消掉，使集合继续满足性质。
时间复杂度 \(\mathcal{O}(\log n)\) 。
合并
直接把一个全部插入到另一个里面即可，时间复杂度 \(\mathcal{O}(\log^2 n)\) 。
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LB merge(LB x,LB y){
LB res=x;for(auto b:y.B)res.insert(b);
return res;
}
询问
对于某个元素，选总是比不选更好，所以最大异或和就是整个集合的异或和。
如果要求第 \(k\) 小/大，也只需要将 \(k\) 二进制分解后选择对应线性基即可（但是如果线性基大小小于 \(n\)，说明原数组可以异或出 0，需要 \(k\gets k-1\) ）。
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int query(int k){//第k小
sort(B.begin(),B.end());
if((int)B.size()<n)k--;
int ans=0;for(auto x:B){if(k&1)ans^=x;k>>=1;}
return k?-1:ans;
}
完整版：
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int n;
struct LB{
vector<int>B;
void clear(){
B.clear();
}
void insert(int x){
for(auto b:B)x=min(x,b^x);
for(auto &b:B)b=min(b,b^x);
if(x)B.push_back(x);
}
int query(int k){
sort(B.begin(),B.end());
if((int)B.size()<n)k--;
int ans=0;for(auto x:B){if(k&1)ans^=x;k>>=1;}
return k?-1:ans;
}
}lb;
LB merge(LB x,LB y){
LB res=x;for(auto b:y.B)res.insert(b);
return res;
}
0x03 应用
P3812 【模板】线性基 & ACwing 210. 异或运算
模板题。
P4570 [BJWC2011]元素
P3265 [JLOI2015]装备购买
0x04 总结
可能不是那么重要，但是一旦考到不会就完全没思路了。
