【笔记】树形dp

目录：

（一）简介

（二）例题

 

（一）简介：

（1）树是什么？

　　树是⼀种⼗分优美的数据结构，因为它本身就具有的递归性，所 以树和⼦树之间能相互传递很多信息。

　　树上的许多特征都可以通过它的⼦树的对应特征计算获得。

　　所以树做动态规划求最优解和做统计非常⽅便。

（2）树的定义：

　　n 个点，n-1 条边的⽆向连通图称为树。

（3）相关概念：

　　结点？

　　叶节点和分支节点？

　　结点的度？结点的连边数

　　树的度数？结点的度的最⼤值

　　

　　祖先和⼦孙？

　　森林？

　　结点深度，树⾼，⼦树⼤小？

 

（二）例题：

（1）给定⼀棵 n 个点的⽆权树，问树中每个⼦树的⼤小，每个节点的 深度? 其中 0 ≤ n ≤ 10^5

（2）给定⼀棵 n 个点的点权树，问树中每个⼦树的点权和，点权最⼤ 值? 其中 0 ≤ n ≤ 10^5

（3）给定⼀棵 n 个点的⽆权树，求树的重⼼？

　　重⼼：删去该点之后，图中的所有连通块的最⼤尺⼨最小。 其中 0 ≤ n ≤ 10^5

（4）给定⼀棵 n 个点的边权树，问树中每个⼦树的最长链？次长链？ 其中 0 ≤ n ≤ 10^5

（5）给定⼀棵 n 个点的边权树，对于树中每个节点 i，询问其到其它所有结点的距离和。 其中 0 ≤ n ≤ 10^5

（6）给定⼀棵 n 个点的边权树，求树的直径。 其中 0 ≤ n ≤ 10^5

　　做法一：

　　　　树的直径⼀定为某个点到其不同⼦树叶⼦的最长链 + 次长链

　　　　暴力求解，从每个点开始遍历图，可以得到每个点v所在的最长路径max1和次长路径max2，注意的是最长路径和次长路径除了点v没有其他公共结点。

　　　　时间复杂度为O ( n 2 ) O(n^2)O(n^2)

　　做法二：

　　　　 选择⼀个点 X，求出其最远点 Y，再求 Y 的最远点 Z，则 YZ 为 直径

　　　　（反证法：分X在直径UV上，和不在直径UV上两种情况）

　　　　两遍DFS（或者BFS）就行

（7）给定⼀棵 n 个点的⽆权树，求其每个⼦树的重⼼。

　　⼦树重⼼定义为，删去该点之后，⼦树的所有连通块⼤小均不超过 n/2 其中 0 ≤ n ≤ 10^5

（8）没有上司的舞会：

（9）二叉苹果树