面试题11：数值的整数次方

题目：实现函数double Power(double base,int exponent)，求base的exponent次方。不得使用库函数，同时不需要考虑大树问题。

这道题目有以下几点需要注意：

1. 0的0次方是无意义的，非法输入
2. 0的负数次方相当于0作为除数，也是无意义的，非法输入
3. base如果非0，如果指数exponent小于0，可以先求base的|exponent|次方，然后再求倒数
4. 判断double类型的base是否等于0不能使用==号。因为计算机表述小树(包括float和double型小数)都有误差，不能直接使用等号(==)判断两个小数是否相等。如果两个数的差的绝对值很小，那么可以认为两个double类型的数相等。

根据以上4个注意点，我们可以写出求指数的程序，代码如下：

#include<iostream>
#include<stdlib.h>
using namespace std;

bool isInvalidInput=false;

double PowerWithUnsingedExponent(double base,unsigned int absExp)
{
    double result=1.0;
    for(int i=0;i<absExp;i++)
        result*=base;
    return result;
}

//由于精度原因，double类型的变量不能用等号判断两个数是否相等，因此需要写equsl函数
bool equal(double a,double b)
{
    if((a-b>-0.000001)&&(a-b<0.000001))
        return true;
    else
        return false;
}

double Power(double base,int exponent)
{
    //如果底数为0且指数小于0，则表明是非法输入。
    if(equal(base,0.0) && exponent<=0)
    {
        isInvalidInput=true;
        return 0;
    }

    unsigned int absExp;
    //判断指数正负，去指数的绝对值
    if(exponent<0)
        absExp=(unsigned int)(-exponent);
    else
        absExp=(unsigned int)exponent;

    double result=PowerWithUnsingedExponent(base,absExp);

    //如果指数小于0则取倒数
    if(exponent<0)
        result=1/result;

    return result;
}

void main()
{
    double a=Power(2.0,13);
    cout<<a<<endl;

    system("pause");
}

更优的解法：

假设我们求2^32，指数是32，那么我们需要进行32次循环的乘法。但是我们在求出2^16以后，只需要在它的基础上再平方一次就可以求出结果。同理可以继续分解2^16。也就是a^n=a^(n/2)*a^(n/2)，(n为偶数)；或者a^n=a^((n-1)/2)*a^((n-1)/2)*a，(n为奇数)。这样就将问题的规模大大缩小，从原来的时间复杂度O(n)降到现在的时间复杂度O(logn)。可以用递归实现这个思路，代码如下:

double PowerWithUnsingedExponent(double base,unsigned int absExp)
{
    if(absExp==0)
        return 1;
    else if(absExp==1)
        return base;

    double result=PowerWithUnsingedExponent(base,absExp/2);
    result*=result;//指数减少一倍以后用底数来乘
    if(absExp%2==1)//如果指数为奇数，还得再乘一次底数
        result*=base;
    return result;
}

 上述程序使用了递归的方法，这样会增加程序的空间复杂度，下面我们使用循环实现递归的思路，代码如下：

以下方法错误：

double PowerWithUnsingedExponent(double base,unsigned int absExp)
{
    if(absExp==0)
        return 1;
    else if(absExp==1)
        return base;

    double result=1.0*base;
    for(int i=2;i<=absExp;i=i*2)
        result*=result;
    if(absExp%2==1)//如果指数为奇数，还得再乘一次底数
        result*=base;
    
    return result;
}