面试题31:连续子数组的最大和
题目:输入一个整型数组,数组里有正数也有负数。数组中一个或连续的多个整数组成一个子数组。求所有子数组的和的最大值。要求时间负责度为O(n)。
看到这个题目,我们首先想到的是求出这个整型数组所有连续子数组的和,长度为n的数组一共有 n(n+2)/2个子数组,因此要求出这些连续子数组的和最快也需要O(n^2)的时间复杂度。但是题目要求的O(n)的时间复杂度,因此上述思路不能解决问题。
看到O(n)时间复杂度,我们就应该能够想到我们只能对整个数组进行一次扫描,在扫描过程中求出最大连续子序列和以及子序列的起点和终点位置。假如输入数组为{1,-2,3,10,-4,7,2,-5},我们尝试从头到尾累加其中的正数,初始化和为0,第一步加上1,此时和为1,第二步加上-2,此时和为-1,第三步加上3,此时我们发现-1+3=2,最大和2反而比3一个单独的整数小,这是因为3加上了一个负数,发现这个规律以后我们就重新作出累加条件:如果当前和为负数,那么就放弃前面的累加和,从数组中的下一个数再开始计数。
代码实例:
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
#include<iostream> #include<stdlib.h> using namespace std; //求最大连续子序列和 int FindGreatestSumOfSubArray(int arry[],int len) { if(arry==NULL||len<=0) return -1; int start=0,end=0;//用于存储最大子序列的起点和终点 int currSum=0;//保存当前最大和 int greatestSum=-10000;//保存全局最大和 for(int i=0;i<len;i++) { if(currSum<0)//如果当前最大和为负数,则舍弃前面的负数最大和,从下一个数开始计算 { currSum=arry[i]; start=i; } else currSum+=arry[i];//如果当前最大和不为负数则加上当前数 if(currSum>greatestSum)//如果当前最大和大于全局最大和,则修改全局最大和 { greatestSum=currSum; end=i; } } cout<<"最大子序列位置:"<<start<<"--"<<end<<endl; return greatestSum; } void main() { int arry[]={1,-2,3,10,-4,7,2,-5}; int len=sizeof(arry)/sizeof(int); //cout<<len<<endl; int sum= FindGreatestSumOfSubArray(arry,len); cout<<"最大子序列和:"<<sum<<endl; system("pause"); }
更正连续子序列位置错误的问题(PS:2012-8-10)
经过@Yu's 技术生涯 测试,发现我上面的代码确实存在问题,现在做了如下修改:
- 1.添加了一个遍历用于保存遍历数组中发现的最大和的起始,原来的start和end只用于保存真是的开始于结尾。
- 2.当currSum<0的时候,我们只让p值为最大和子数组的开始
- 3.在最后判断currSum>greatestSum的时候,只有当currSum>greatestSum成立,才让start=p,否则就表明以p开头的子数组最大和不是最大的。
示例代码如下:
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
#include<iostream> #include<stdlib.h> using namespace std; //求最大连续子序列和 int FindGreatestSumOfSubArray(int arry[],int len) { if(arry==NULL||len<=0) return -1; int start=0,end=0;//用于存储最大子序列的起点和终点 int p=0;//指针,用于遍历数组。 int currSum=0;//保存当前最大和 int greatestSum=-10000;//保存全局最大和 for(int i=0;i<len;i++) { if(currSum<0)//如果当前最大和为负数,则舍弃前面的负数最大和,从下一个数开始计算 { currSum=arry[i]; p=i; } else currSum+=arry[i];//如果当前最大和不为负数则加上当前数 if(currSum>greatestSum)//如果当前最大和大于全局最大和,则修改全局最大和 { greatestSum=currSum; start=p; end=i; } } cout<<"最大子序列位置:"<<start<<"--"<<end<<endl; return greatestSum; } void main() { //int arry[]={1,-2,3,10,-4,7,2,-5}; int arry[]={1,-2,3,10,-4,7,2,-19,2}; int len=sizeof(arry)/sizeof(int); //cout<<len<<endl; int sum= FindGreatestSumOfSubArray(arry,len); cout<<"最大子序列和:"<<sum<<endl; system("pause"); }
使用动态规划方法(PS:2012-10-9)
解体思路:
如果用函数f(i)表示以第i个数字结尾的子数组的最大和,那么我们需要求出max(f[0...n])。我们可以给出如下递归公式求f(i)
这个公式的意义:
- 当以第(i-1)个数字为结尾的子数组中所有数字的和f(i-1)小于0时,如果把这个负数和第i个数相加,得到的结果反而不第i个数本身还要小,所以这种情况下最大子数组和是第i个数本身。
- 如果以第(i-1)个数字为结尾的子数组中所有数字的和f(i-1)大于0,与第i个数累加就得到了以第i个数结尾的子数组中所有数字的和。
代码实现
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//使用动态规划求最大连续子数组和 int FindGreatestSumOfSubArray2(int arry[],int len,int c[]) { c[0]=arry[0]; int start,end; int temp=0; int maxGreatSum=-100; for(int i=1;i<len;i++) { if(c[i-1]<=0) { c[i]=arry[i]; temp=i; } else c[i]=arry[i]+c[i-1]; if(c[i]>maxGreatSum) { maxGreatSum=c[i]; start=temp; end=i; } } //输出c[i] for(int i=0;i<len;i++) cout<<c[i]<<" "; cout<<endl; cout<<"最大子序列位置:"<<start<<"--"<<end<<endl; return maxGreatSum; }
其实上述两种方法的实现方式非常相似,只是解体思路不同而已。通常我们会使用递归的方式分析动态规划的问题,但是最终都会基于循环去写代码。在动态规划方法中创建了一个数组c[]用于存储中间结果,而第一种方法中只需要一个临时变量currSum.