微积分：导数

导数初步（一）

一、历史渊源

首先研究导数的数学家是费马。

​ 大约在1629年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法；1637年左右，他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时，他构造了差分f（A+E）-f（A），发现的因子E就是我们所说的导数f'（A） ^[1]
。
系统地研究导数的数学家是牛莱（牛顿、莱布尼茨）。

​ 在前人创造性研究的基础上，大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿的微积分理论被称为“流数术”，他称变量为流量，称变量的变化率为流数，相当于我们所说的导数。牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》.流数理论的实质概括为：他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程；在于自变量的变化与函数的变化的比的构成；最在于决定这个比当变化趋于零时的极限 ^[2]。

使导数趋于成熟的则是大数学家柯西。

1823年，柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数：如果函数y=f（x）在变量x的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值，那么是使变量得到一个无穷小增量 ^[3]。

在给出导数的完整的定义之前，我们应当指出邻域的概念。

请阅读 数列极限（一）---许江一墨。

二、极限的概念

定义：当自变量x无限趋近某一数值x₀(记作x→x₀)时，函数f(x)的数值无限趋近某一确定的数值a，则a叫做x→x₀时函数f(x)的极限值，并记作，其中的“lim” 是英语“limit（极限）”一词的缩写，读作”当x趋近于x₀时，f(x)的极限值等于a”。

详细的极限概念请参见数列极限（二）---许江一墨。

三、导数的概念

定义：设函数y = f(x)在点x₀的某个邻域上有定义，当自变量x在x₀处有增量Δx，（x+Δx）也在该邻域内时，相应的函数取得增量Δy = f(x+Δx) - f(x₀)；如果Δy/Δx的值当Δx→0时极限存在，则称函数y = f(x) 在点x₀处可导，并称这个极限为函数y = f(x)在点x₀处的导数，记作，即

其中的lim为limit(极限)的简写。

数学上把y = 称为y = f(x) 的导函数，事实上，导函数可以进行再次求导，由此不难定义出高阶的导数来。例如，路程与时间的一阶导数为速度，二阶导数即为加速度。

需要指出的是，并非所有的函数都可导，连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。如魏尔斯特拉斯函数。

实际上，导数的定义有很多种，如果大家不太理解邻域的概念，可以选择食用以下定义。

定义：当自变量的增量Δx→0时，因变量的增量Δy与自变量的增量Δx之商的极限叫做导数或者微商。导数的含义，简单来说就是y随x变化的变化率，其几何意义时该点切线的斜率。

四、例题检测

根据导函数的定义，推导下列函数的导函数。

（1）y = x²;

（2）y = xⁿ(n不等于0)；

（3）y = sin x；

PS：由于答案均为数学公式，不太好打，所以请自行思考。

五、引用声明

[1] [2] [3]均引自[百度][https://baike.baidu.com/item/导数]，超链接已附上，可自行查看。
感谢✬芷夢✬对本文撰写过程中的支持及指正，也欢迎各位指出本文的学术性错误，谢谢大家！