分块矩阵方法

分块矩阵法是高等代数中处理矩阵相关问题的最重要的方法之一, 其重要性可以说怎么强调都不过分. 分块矩阵法的核心思想是根据具体问题构造适当的分块矩阵, 然后运用广义初等变换, 将某些子块消为零块, 得到特殊的分块矩阵从而解决问题. 该方法几乎贯穿了线性代数的始终, 在矩阵求逆、矩阵秩不等式、行列式、线性方程组、线性变换、二次型等方面有着广泛的应用.

例如, 证明行列式的乘法公式 $| A B | = | A | \cdot | B |$ 时, 我们就构造了分块矩阵

(\begin{array}{cc} A & O \\ - E & B \end{array}) .

作广义初等变换

(\begin{array}{cc} A & O \\ - E & B \end{array}) \overset{c_{1} \cdot B + c_{2}}{⟶} (\begin{array}{cc} A & A B \\ - E & O \end{array}) \overset{r_{1} \leftrightarrow r_{2}}{⟶} (\begin{array}{cc} - E & O \\ A & A B \end{array}) .

取行列式, 得

| A | \cdot | B | = | \begin{array}{cc} A & O \\ - E & B \end{array} | = (- 1)^{n} | \begin{array}{cc} - E & O \\ A & A B \end{array} | = (- 1)^{n} | - E_{n} | \cdot | A B |,

即 $| A B | = | A | \cdot | B |$ .

再例如, 若子矩阵块 $A$ 可逆，利用初等变换将分块矩阵 $(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array})$
的子块 $C$ 消成 $O$ , 即

(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}) \overset{r_{1} \cdot - C A^{- 1} + r_{2}}{⟶} (\begin{array}{cc} A & B \\ O & D - C A^{- 1} B \end{array}) .

得到行列式

| \begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array} | = | \begin{array}{cc} A & B \\ O & D - C A^{- 1} B \end{array} | = | A | \cdot | D - C A^{- 1} B | .

该式有时也称为行列式的降阶公式.

$§ 1$ 由于广义初等变换不改变矩阵的秩，所以关于矩阵秩的等式或不等式的证明, 分块矩阵法可以大显神通. 使用该方法的主要思路是根据等式或不等式的一边，利用下面例2中的等式或不等式，构造合适的分块矩阵，对其实施分块矩阵的初等变换，得到等式或不等式的另一边的秩关系.

例1 设 $A_{m \times n}, B_{n \times l}$ , 则 $r (A B) ⩽ min {r (A), r (B)}$ .

证明由于

(A, A B) (\begin{array}{cc} E & - B \\ O & E \end{array}) = (A, O), (\begin{array}{cc} E & O \\ - A & E \end{array}) (\begin{matrix} B \\ A B \end{matrix}) = (\begin{matrix} B \\ O \end{matrix}),

所以

\begin{matrix} r (A B) ⩽ r (A, A B) = r (A, O) = r (A), \\ r (A B) ⩽ r (\begin{matrix} B \\ A B \end{matrix}) = r (\begin{matrix} B \\ O \end{matrix}) = r (B), \end{matrix}

即 $r (A B) ⩽ min {r (A), r (B)}$ .

例2 $r (A) + r (B) = r (\begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix}) ⩽ r (\begin{matrix} A & O \\ C & B \end{matrix})$ .

证明设 $r (A) = r_{1}$ , $r (B) = r_{2}$ , 则存在可逆矩阵 $P_{1}, Q_{1}$ 与 $P_{2}, Q_{2}$ 使得

P_{1} A Q_{1} = (\begin{matrix} E_{r_{1}} \\ O \end{matrix}), P_{2} B Q_{2} = (\begin{matrix} E_{r_{2}} \\ O \end{matrix}) .

从而

(\begin{matrix} P_{1} \\ P_{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} A \\ B \end{matrix}) (\begin{matrix} Q_{1} \\ Q_{2} \end{matrix}) = (\begin{array}{cccc} E_{r_{1}} \\ O \\ E_{r_{2}} \\ O \end{array}) .

所以由(1)得

r (\begin{matrix} A \\ B \end{matrix}) = r_{1} + r_{2} = r (A) + r (B) .

另一方面, 由于通过初等变换,

\begin{aligned} (\begin{array}{c} A & O \\ C & B \end{array}) \to (\begin{array}{cccc} E_{r_{1}} \\ O \\ D_{11} & D_{12} & E_{r_{2}} \\ D_{21} & D_{22} & O \end{array}) \\ \to & (\begin{array}{cccc} E_{r_{1}} \\ O \\ O & O & E_{r_{2}} \\ O & D & O \end{array}) \to (\begin{array}{cccc} E_{r_{1}} \\ E_{r_{2}} \\ D \\ O \end{array}), \end{aligned}

所以

r (\begin{matrix} A & O \\ C & B \end{matrix}) = r_{1} + r_{2} + r (D) ⩾ r_{1} + r_{2} = r (A) + r (B) .

例3 若 $A, B$ 是同阶矩阵，则
$| r (A) - r (B) | ⩽ r (A \pm B) ⩽ r (A) + r (B)$ .

证明由于

(\begin{matrix} A \\ B \end{matrix}) \to (\begin{matrix} A & O \\ A & B \end{matrix}) \to (\begin{matrix} A & A \\ A & A + B \end{matrix}),

所以

r (A + B) ⩽ r (\begin{matrix} A & A \\ A & A + B \end{matrix}) = r (\begin{matrix} A \\ B \end{matrix}) = r (A) + r (B) .

另一方面, 不妨设 $r (A) ⩾ r (B)$ , 则由

(\begin{matrix} A + B \\ B \end{matrix}) \to (\begin{matrix} A + B & B \\ O & B \end{matrix}) \to (\begin{matrix} A & B \\ - B & B \end{matrix}),

可得

r (A) ⩽ r (\begin{matrix} A & B \\ - B & B \end{matrix}) = r (\begin{matrix} A + B \\ B \end{matrix}) = r (A + B) + r (B),

即

r (A) - r (B) ⩽ r (A + B) .

而且,

r (A) = r (A - B + B) ⩽ r (A - B) + r (B),

所以 $r (A) - r (B) ⩽ r (A - B)$ ,.
类似地,

r (B) - r (A) ⩽ r (B - A) = r (A - B) .

所以
$| r (A) - r (B) | ⩽ r (A - B)$ ,,
故

| r (A) - r (B) | ⩽ r (A \pm B) .

例4 [第一降阶定理]
设 $A$ 是可逆矩阵, $(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array})$ 是 $(r, m - r) \times (r, m - r)$ 分块矩阵. 证明 $r (\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}) = r (A) + r (D - C A^{- 1} B)$ .

证明因为

(\begin{array}{cc} E_{r} & O \\ - C A^{- 1} & E_{m - r} \end{array}) (\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}) (\begin{array}{cc} E_{r} & - A^{- 1} B \\ O & E_{m - r} \end{array}) = (\begin{array}{cc} A & O \\ O & D - C A^{- 1} B \end{array}),

且 $(\begin{array}{cc} E_{r} & O \\ - C A^{- 1} & E_{m - r} \end{array})$ 与 $(\begin{array}{cc} E_{r} & - A^{- 1} B \\ O & E_{m - r} \end{array})$ 都是非异矩阵, 所以

r (\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}) = r (A) + r (D - C A^{- 1} B) .

例5 [第二降阶定理]
设 $A, D$ 分别是 $r, s$ 阶非奇异矩阵, $B \in F^{r \times s}$ , $C \in F^{s \times r}$ , 则

r (D - C A^{- 1} B) = r (D) - r (A) + r (A - B D^{- 1} C) .

证明由第一讲解定理得

r (\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}) = r (A) + r (D - C A^{- 1} B) .

另一方面, 由 $D$ 非奇异知

(\begin{array}{cc} E_{r} & - B D^{- 1} \\ O & E_{m - r} \end{array}) (\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}) (\begin{array}{cc} E_{r} & O \\ - D^{- 1} C & E_{m - r} \end{array}) = (\begin{array}{cc} A - B D^{- 1} C & O \\ O & D \end{array}),

所以

r (\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}) = r (D) + r (A - B D^{- 1} C) .

故

r (D - C A^{- 1} B) = r (D) - r (A) + r (A - B D^{- 1} C) .

例6 设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵, 证明

r (E_{m} - A A^{T}) - r (E_{n} - A^{T} A) = m - n .

*证明由 $???$ 知

\begin{aligned} r (E_{m} - A A^{T}) = r (E_{m} - A E_{n} A^{T}) & = r (E_{m}) - r (E_{n}) + r (E_{n} - A^{T} E_{m} A) \\ = m - n + r (E_{n} - A^{T} A) . \end{aligned}

即

r (E_{m} - A A^{T}) - r (E_{n} - A^{T} A) = m - n .

例7 [Sylvester不等式]
设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，则 $r (A) + r (B) ⩽ r (A B) + n$ .

** 证明** 对分块矩阵作广义初等变换, $(\begin{matrix} A & O \E & B \end{matrix}) \to (\begin{matrix} O & - A B E & B \end{matrix}) \to (\begin{matrix} O & - A B E & O \end{matrix}) \to (\begin{matrix} E & O \O & A B \end{matrix}), .$
由(3)得

r (A) + r (B) ⩽ r (\begin{matrix} A & O \\ E & B \end{matrix}) = r (\begin{matrix} E & O \\ O & A B \end{matrix}) = r (A B) + n,

即

r (A) + r (B) - n ⩽ r (A B) .

例[8 复旦大学1999，武汉大学2001，厦门大学2001，北京理工大学2003，西安电子科技大学2004，浙江大学2007，北京大学2009，中南大学2010，兰州大学2020]
设 $A, B, C$ 分别是 $m \times n, n \times s, s \times t$ 矩阵. 证明Frobenius不等式

r (A B C) + r (B) ⩾ r (A B) + r (B C) .

证明 (方法一) 利用分块初等变换，考虑

(\begin{array}{cc} A B C & O \\ O & B \end{array}) \to (\begin{array}{cc} A B C & A B \\ O & B \end{array}) \to (\begin{array}{cc} O & A B \\ - B C & B \end{array}) \to (\begin{array}{cc} A B & O \\ B & B C \end{array}),

于是

\begin{aligned} r (A B C) + r (B) = & r (\begin{array}{cc} A B C & O \\ O & B \end{array}) = r (\begin{array}{cc} A B & O \\ B & B C \end{array}) \\ ⩾ & r (\begin{array}{cc} A B & O \\ O & B C \end{array}) = r (A B) + r (B C) . \end{aligned}

(方法二) 利用满秩分解与Sylvester不等式. 设 $r (B) = r$ , 则存在行、列满秩矩阵 $H, L$ 使得 $B = L H$ . 则

\begin{aligned} r (A B C) = r (A L H C) & ⩾ r (A L) + r (H C) - r \\ ⩾ r (A B) + r (B C) - r (B) . \end{aligned}

下面的例子中, 由于 $A + B$ 未必可逆，所以下面的一步使用的不是(广义)初等变换

(\begin{matrix} A + B \\ E \end{matrix}) (\begin{matrix} A & A \\ A & A + B \end{matrix}) \overset{左乘 (A + B)}{=} (\begin{matrix} (A + B) A & (A + B) A \\ A & A + B \end{matrix})

由于矩阵乘积的秩不大于每一个因子的秩，所以

r (\begin{matrix} A & A \\ A & A + B \end{matrix}) ⩾ (\begin{matrix} (A + B) A & (A + B) A \\ A & A + B \end{matrix})

例9 [武汉大学2008]
设 $A, B$ 是数域 $\mF$ 上的 $n$ 阶方阵， $A B = B A$ . 证明：
$r (A + B) ⩽ r (A) + r (B) - r (A B)$ .

证明 (方法一) 利用线性方程组与维数公式，参见 $???$ 或 $???$ .

(方法二)
因为

\begin{aligned} (\begin{array}{c} A & O \\ O & B \end{array}) & \to (\begin{array}{c} A & O \\ A & B \end{array}) \to (\begin{array}{c} A & A \\ A & A + B \end{array}) \overset{左乘 (A + B)}{⟶} (\begin{array}{c} (A + B) A & (A + B) A \\ A & A + B \end{array}) \\ \to (\begin{array}{c} O & (A + B) A \\ - B & A + B \end{array}) \to (\begin{array}{c} A B & O \\ - B & A + B \end{array}) \end{aligned}

由于 $A + B$ 未必可逆，所以左乘 $A + B$ 不是初等变换，从而

\begin{aligned} r (A) + r (B) = & r (\begin{array}{c} A & O \\ O & B \end{array}) = r (\begin{array}{c} A & A \\ A & A + B \end{array}) ⩾ r (\begin{array}{c} (A + B) A & (A + B) A \\ A & A + B \end{array}) \\ = & r (\begin{array}{c} A B & O \\ - B & A + B \end{array}) ⩾ (\begin{array}{c} A B & O \\ O & A + B \end{array}) = r (A B) + r (A + B) . \end{aligned}

例10 设 $A, B$ 是 $m \times n, n \times m$ 矩阵，证明

r (A - A B A) = r (A) + r (E_{n} - B A) - n .

证明因为

\begin{aligned} (\begin{array}{c} A & O \\ O & E_{n} - B A \end{array}) & \to (\begin{array}{c} A & O \\ B A & E_{n} - B A \end{array}) \to (\begin{array}{c} A & A \\ B A & E_{n} \end{array}) \\ \to (\begin{array}{c} A - A B A & O \\ B A & E_{n} \end{array}) \to (\begin{array}{c} A - A B A & O \\ O & E_{n} \end{array}) \end{aligned}

所以

r (A) + r (E_{n} - B A) = r (\begin{matrix} A & O \\ O & E_{n} - B A \end{matrix}) = r (\begin{matrix} A - A B A & O \\ O & E_{n} \end{matrix}) = r (A - A B A) + n .

$§ 2$ 由于矩阵的标准形（等价标准形、Jordan 标准形、Frobenius标准形）都是分块矩阵，因此运用标准形解决矩阵问题常常结合分块矩阵的方法.

例11 设 $A, B$ 分别是复数域上的 $m, n$ 阶矩阵，则 $A, B$ 没有公共特征值当且仅当矩阵方程 $A X = X B$ 只有零解.

** 证明**
必要性：（反证法）假设 $X_{0}$ 是 $A X = X B$ 的非零解，设存在可逆矩阵 $P, Q$ 使得

P X_{0} Q = (\begin{matrix} E_{r} & O \\ O & O \end{matrix}), r ⩾ 1.

由 $A X_{0} = X_{0} B$ 得到

(P A P^{- 1}) (P X_{0} Q) = (P X_{0} Q) (Q^{- 1} B Q) .

设

P A P^{- 1} = (\begin{matrix} A_{1} & A_{2} \\ A_{3} & A_{4} \end{matrix}), Q^{- 1} B Q = (\begin{matrix} B_{1} & B_{2} \\ B_{3} & B_{4} \end{matrix}),

则

(\begin{matrix} A_{1} & A_{2} \\ A_{3} & A_{4} \end{matrix}) (\begin{matrix} E_{r} & O \\ O & O \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{r} & O \\ O & O \end{matrix}) (\begin{matrix} B_{1} & B_{2} \\ B_{3} & B_{4} \end{matrix}),

即

(\begin{matrix} A_{1} & O \\ A_{3} & O \end{matrix}) = (\begin{matrix} B_{1} & B_{2} \\ O & O \end{matrix}) .

从而可得 $A_{1} = B_{1}, A_{3} = O, B_{2} = O$ . 从而 $A_{1} = B_{1}$ 的特征值是 $A, B$ 的公共特征值，矛盾！所以 $A X = X B$ 只有零解.

充分性：（反证法）假设 $λ_{0}$ 是 $A, B$ 的公共特征值，因为 $f_{B} (λ) = f_{B^{T}} (λ)$ , 所以 $λ_{0}$ 也是 $A, B^{T}$ 的公共特征值, 故存在可逆矩阵 $P, Q$ 使得

P^{- 1} A P = (\begin{matrix} λ_{0} & A_{2} \\ 0 & A_{4} \end{matrix}), Q^{- 1} B^{T} Q = (\begin{matrix} λ_{0} & B_{2} \\ 0 & B_{4} \end{matrix}),

从而

A = P (\begin{matrix} λ_{0} & A_{2} \\ 0 & A_{4} \end{matrix}) P^{- 1}, B = (Q^{T})^{- 1} (\begin{matrix} λ_{0} & 0 \\ B_{2}^{T} & B_{4}^{T} \end{matrix}) Q^{T} .

令 $X_{0} = P (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & O \end{matrix}) Q^{T} \neq O$ , 则 $A X_{)} = X_{0} B$ , 矛盾！所以 $A, B$ 没有公共特征值.

注该例的几何解法参见 $???$ . 该例的结论可用于解决如下问题：

1、 $A, B$ 没有公共特征值 $\Leftrightarrow$ $(f_{A} (λ), f_{B} (λ)) = 1$ $\Leftrightarrow$ $f_{B} (A)$ 可逆 $\Leftrightarrow$ 矩阵方程 $A X = X B$ 只有零解 $\Leftrightarrow$ 线性变换 $σ : C^{m \times n} \to C^{m \times n}, X \mapsto A X - X B$ 可逆.

2、（中国科学技术大学，2013）设 $A, B$ 是 $n$ 阶复方阵， $C^{n \times n}$ 上的线性变换 $\A : X \mapsto A X - X B$ . 证明： $\A$ 可逆的充分必要条件是 $A$ 和 $B$ 无公共特征值.

3、（武汉大学，2013）设 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ 是 $n$ 阶实方阵 $A$ 的全部特征值，但 $- λ_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 不是 $A$ 的特征值. 定义 $R^{n \times n}$ 的线性变换

σ (X) = A^{T} X + X A, \forall X \in R^{n \times n} .

证明：(1) $σ$ 是可逆线性变换；

(2) 对任意实对称矩阵 $C$ , 存在唯一的实对称矩阵 $B$ 使得 $A^{T} B + B A = C$ .

证明
(1) 只需证明 $σ$ 是单射. 设 $σ (X) = A^{T} X + X A = O$ , 则 $X A = - A^{T} X$ , 于是

f_{A} (- A^{T}) X = X f_{A} (A) = O .

由于 $- λ_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 不是 $A$ 的特征值, 所以 $f_{A} (- A^{T})$ 可逆，从而 $X = O$ , $σ$ 是单射，从而是双射，故可逆.

(2) 由(1)知存在唯一的矩阵 $B$ 使得 $σ (B) = C$ . 由于

σ (B^{T}) = A^{T} B^{T} + B^{T} A = (A^{T} B + B A)^{T} = C^{T} = C,

所以 $B^{T} = B$ , 即 $B$ 是对称矩阵.

4、设 $A, B$ 分别是 $m, n$ 阶方阵， $C$ 是 $m \times n$ 阶矩阵. 证明： $A X + X B = C$ 有唯一解的充要条件是对 $A, B$ 的任一特征值 $λ_{i}, μ_{j}$ , 都有 $λ_{i} + μ_{j} \neq 0$ .

(提示：只需证 $A X + X B = O$ 只有零解当且仅当 $λ_{i} + μ_{j} \neq 0$ , 这等价于 $A X - X B = O$ 只有零解当且仅当 $A, B$ 没有公共特征值.)

矩阵方程 $A X - X B = C$ 称为Sylvester方程，在控制理论中有着重要应用.

例12
设 $A, B$ 分别是复数域上的 $m, n$ 阶矩阵，且 $A, B$ 没有公共特征值，对任意的 $C \in C^{m \times n}$ , 若矩阵方程 $A X - X B = C$ 有解，则有唯一解.

证明 (反证法) 假设矩阵方程 $A X - X B = C$ 有两个不同的解 $X_{1}, X_{2}$ , 则 $X_{1} - X_{2}$ 矩阵方程 $A X - X B = O$ 的非零解，与 $???$ 矛盾！所以矩阵方程 $A X - X B = C$ 有唯一解.

注[Roth第二定理]
矩阵方程 $A X - X B = C$ 有解当且仅当 $(\begin{matrix} A & C \\ O & B \end{matrix})$ 与 $(\begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix})$ 相似，见 $???$ .

**例13 ** 设 $A, B$ 分别是复数域上的 $m, n$ 阶矩阵，若 $A, B$ 没有公共特征值，则 $D = (\begin{matrix} A & C \\ O & B \end{matrix})$ 可对角化当且仅当 $A, B$ 可对角化.

** 证明** 因为 $A, B$ 没有公共特征值，所以矩阵方程 $A X - X B = C$ 有唯一解，设为 $X_{0}$ . 由于

(\begin{matrix} E & X_{0} \\ O & E \end{matrix}) (\begin{matrix} A & C \\ O & B \end{matrix}) {(\begin{matrix} E & X_{0} \\ O & E \end{matrix})}^{- 1} = (\begin{matrix} A & - A X_{0} + X_{0} B + C \\ O & B \end{matrix}) = (\begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix}),

所以 $D$ 可对角化当且仅当 $A, B$ 可对角化.

例14 设 $A, B$ 分别是复数域 $C$ 上的 $n$ 阶与 $m$ 阶矩阵, $0 < r ⩽ min {n, m}$ . 证明：如果 $A X - X B = O$ 有秩为 $r$ 的矩阵解, 则 $A$ 与 $B$ 至少有 $r$ 个公共特征值(重根按重数计算).

证明设 $C$ 是 $A X - X B = O$ 的矩阵解, 且 $r (C) = r$ . 则存在可逆矩阵 $P \in C^{n \times n}$ , $Q \in C^{m \times m}$ , 使得

C = P (\begin{array}{cc} E_{r} & O \\ O & O \end{array}) Q .

由于 $A C = C B$ , 所以

A P (\begin{array}{cc} E_{r} & O \\ O & O \end{array}) Q = P (\begin{array}{cc} E_{r} & O \\ O & O \end{array}) Q B,

从而

P^{- 1} A P (\begin{array}{cc} E_{r} & O \\ O & O \end{array}) = (\begin{array}{cc} E_{r} & O \\ O & O \end{array}) Q B Q^{- 1} .

将 $P^{- 1} A P, Q B Q^{- 1}$ 写成分块矩阵的形式

P^{- 1} A P = (\begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix}), Q B Q^{- 1} = (\begin{matrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{matrix})

故

(\begin{array}{cc} A_{11} & O \\ A_{21} & O \end{array}) = (\begin{array}{cc} B_{11} & B_{12} \\ O & O \end{array}) .

由此得 $A_{11} = B_{11}, A_{21} = O, B_{12} = O$ .
所以

P^{- 1} A P = (\begin{array}{cc} A_{11} & A_{12} \\ O & A_{22} \end{array}), Q B Q^{- 1} = (\begin{array}{cc} A_{11} & O \\ B_{12} & B_{22} \end{array}) .

所以 $A, B$ 的特征多项式分别为

f_{A} (λ) = | λ E_{r} - A_{11} | \cdot | λ E - A_{22} |, f_{B} (λ) = | λ E_{r} - A_{11} | \cdot | λ E - B_{22} | .

它们有公因式 $| λ E_{r} - A_{11} |$ , 因而 $A$ 与 $B$ 至少有 $r$ 个公共特征值(重根按重数计算).

例15 [Roth第一定理]
设 $A, B, C$ 分别为 $m \times n$ , $n \times m$ 与 $n \times n$ 矩阵, 则 $\r (\begin{array}{cc} A & O \\ O & B \end{array}) = r (\begin{array}{cc} A & O \\ C & B \end{array})$ 的充要条件为存在矩阵 $X, Y$ 使得
$X A - B Y = C$ .

证明 $⟸$ 由 $(\begin{array}{cc} E & O \\ - X & E \end{array}) (\begin{array}{cc} A & O \\ C & B \end{array}) (\begin{array}{cc} E & O \\ Y & E \end{array}) = (\begin{array}{cc} A & O \\ O & B \end{array})$ 即得.

$⟹$ 设 $P_{1} A Q_{1} = (\begin{array}{cc} E_{r} & O \\ O & O \end{array}) \overset{Δ}{=} H_{1}, P_{2} B Q_{2} = (\begin{array}{cc} E_{s} & O \\ O & O \end{array}) \overset{Δ}{=} H_{2} .$ 则
$\begin{matrix} (1) & (\begin{array}{cc} P_{1} & O \O & P_{2} \end{array}) (\begin{array}{cc} A & O \O & B \end{array}) (\begin{array}{cc} Q_{1} & O \O & Q_{2} \end{array}) = (\begin{array}{cccc} E_{r} & O & E_{s} & O \end{array}), \end{matrix}$
$\begin{matrix} (2) & \begin{array}{ll} (\begin{array}{cc} P_{1} & O \O & P_{2} \end{array}) (\begin{array}{cc} A & O C & B \end{array}) (\begin{array}{cc} Q_{1} & O \O & Q_{2} \end{array}) = (\begin{array}{cc} P_{1} A Q_{1} & O P_{2} C Q_{1} & P_{2} B Q_{2} \end{array}) = & (\begin{array}{cccc} E_{r} & O & O & O & D_{1} & D_{2} & E_{s} & O D_{3} & D_{4} & O & O \end{array}) = (\begin{array}{cc} H_{1} & O D & H_{2} \end{array}) . \end{array} \end{matrix}$
从(2.5)中消去 $D_{1}$ , 即

(\begin{array}{cccc} E_{r} \\ O & E \\ - D_{1} & O & E_{s} & O \\ O & O & O & E \end{array}) (\begin{array}{cccc} E_{r} & O \\ O & O \\ D_{1} & D_{2} & E_{s} & O \\ D_{3} & D_{4} & O & O \end{array}) = (\begin{array}{cccc} E_{r} & O \\ O & O \\ O & D_{2} & E_{s} & O \\ D_{3} & D_{4} & O & O \end{array}) .

此过程可简记为

(\begin{array}{cc} - D_{1} & O \\ O & O \end{array}) (\begin{array}{cc} E_{r} & O \\ O & O \end{array}) + (\begin{array}{cc} D_{1} & D_{2} \\ D_{3} & D_{4} \end{array}) = (\begin{array}{cc} O & D_{2} \\ D_{3} & D_{4} \end{array}) .

继续消去 $D_{3}, D_{2}$ 的过程可简记为

(\begin{array}{cc} O & O \\ - D_{3} & O \end{array}) (\begin{array}{cc} E_{r} & O \\ O & O \end{array}) + (\begin{array}{cc} O & D_{2} \\ D_{3} & D_{4} \end{array}) = (\begin{array}{cc} O & D_{2} \\ O & D_{4} \end{array}) .

(\begin{array}{cc} E_{s} & O \\ O & O \end{array}) (\begin{array}{cc} O & - D_{2} \\ O & O \end{array}) + (\begin{array}{cc} O & D_{2} \\ O & D_{4} \end{array}) = (\begin{array}{cc} O & O \\ O & D_{4} \end{array}) .

由题设, (2.4)与(2.5)式右端的秩相等, 所以 $D_{4} = O$ . 从而该消去过程相当于存在矩阵 $U = (\begin{array}{cc} O & O \\ - D_{3} & O \end{array}) + (\begin{array}{cc} - D_{1} & O \\ O & O \end{array}), V = (\begin{array}{cc} O & - D_{2} \\ O & O \end{array})$ 使得

U H_{1} + H_{2} V + D = O .

即

U (P_{1} A Q_{1}) + (P_{2} B Q_{2}) V = - P_{2} C Q_{1},

或等价地,

(- P_{2}^{- 1} U P_{1}) A - B (Q_{2} V Q_{1}^{- 1}) = C .

令 $X = - P_{2}^{- 1} U P_{1}$ , $Y = Q_{2} V Q_{1}^{- 1}$ , 即证.

例16 设 $A, B$ 分别为 $m \times n$ 与 $n \times m$ 矩阵, 则 $r (A) + r (B) = r (A B) + n$ 的充要条件为存在矩阵 $X, Y$ 使得
$X A - B Y = E_{n}$ .

证明由Sylvester不等式的证明过程知只需证明

r (\begin{array}{cc} A & O \\ O & B \end{array}) = r (\begin{array}{cc} A & O \\ E & B \end{array}) ⟺ \exists X, Y, s.t. X A - B Y = E_{n} .

这由上题即得.

$§ 3$ 通过构造分块矩阵，再利用广义初等变换将其化为分块上（下）三角矩阵是解决行列式等式的常用方法.

例17 设 $A, B, C, D$ 是 $n$ 阶方阵, $| A | \neq 0$ . 证明

(1) 若 $A C = C A$ ,\ 则
$| \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} | = | A D - C B |;$

(2) 若 $A B = B A$ ,\ 则
$| \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} | = | D A - C B | .$

证明 (1),若 $A$ 可逆, 则
\begin{eqnarray} $(\begin{matrix} E & O \- A^{- 1} C & E \end{matrix})$ $(\begin{matrix} A & B \C & D \end{matrix})$ &=&\begin{pmatrix}A&B\
-A^{-1}CA+C&-ACB+D\end{pmatrix}$$12pt]
&\begin{tabular}{c}
$\scriptsize{AC=CA}$ \
\hline\hline
\end{tabular}& $(\begin{matrix} A & B \O & - A^{- 1} C B + D \end{matrix})$ ,,\end{eqnarray}
故 $| \begin{matrix} A & B \C & D \end{matrix} | = | A | | - A^{- 1} C B + D | = | A D - C B |, .$

(2) 类似可证.

例18 [中国科学院大学2010]
设 $A, B$ 分别是 $n \times m$ 与 $m \times n$ 矩阵. 证明

| E_{n} - A B | = | \begin{matrix} E_{m} & B \\ A & E_{n} \end{matrix} | = | E_{m} - B A | .

证明一方面,

(\begin{matrix} E & O \\ - A & E \end{matrix}) (\begin{matrix} E_{m} & B \\ A & E_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{m} & B \\ O & E_{n} - A B \end{matrix})

故 $| \begin{matrix} E_{m} & B A & E_{n} \end{matrix} | = | E_{m} | | E_{n} - A B | = | E_{n} - A B |, .$
另一方面,

(\begin{matrix} E & - B \\ O & E \end{matrix}) (\begin{matrix} E_{m} & B \\ A & E_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{m} - B A & O \\ O & E_{n} \end{matrix})

故 $| \begin{matrix} E_{m} & B A & E_{n} \end{matrix} | = | E_{m} - B A | | E_{n} | = | E_{m} - B A |, .$
所以

| E_{n} - A B | = | \begin{matrix} E_{m} & B \\ A & E_{n} \end{matrix} | = | E_{m} - B A | .

注 [上海交通大学2005]
设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，满足
$r (E - A B) + r (E + B A) = n$ . 求证： $r (A) = n$ .

(提示：先证 $r (E + B A) = r (E + A B)$ , 从而 $r (E - A B) + r (E + A B) = n$ , 故 $(A B)^{2} = E$ , $A$ 可逆从而 $r (A) = n$ , 参见 $???$ )
\end{remark}

下面的例子称为特征多项式的降阶公式.

例19 [上海大学2012]
设 $A, B$ 分别是 $n \times m$ 与 $m \times n$ 矩阵, $λ \neq 0$ . 证明

| λ E_{n} - A B | = λ^{n - m} | λ E_{m} - B A | .

*证明一方面,

(\begin{matrix} E_{n} & O \\ - λ^{- 1} A & E \end{matrix}) (\begin{matrix} λ E_{m} & B \\ A & E_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} λ E_{m} & B \\ O & E_{n} - λ^{- 1} A B \end{matrix})

故$$ $| \begin{matrix} λ E_{m} & B A & E_{n} \end{matrix} |$
=|\lambda E_m||E_n-\lambda^{{-1}AB|=\lambda} |\lambda E_n-AB|,.$$
另一方面,

(\begin{matrix} E & - B \\ O & E \end{matrix}) (\begin{matrix} λ E_{m} & B \\ A & E_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} λ E_{m} - B A & O \\ O & E_{n} \end{matrix})

故 $| \begin{matrix} λ E_{m} & B A & E_{n} \end{matrix} | = | λ E_{m} - B A | | E_{n} | = | λ E_{m} - B A |, .$
所以

| λ E_{n} - A B | = λ^{n - m} | λ E_{m} - B A | .

posted on 2024-07-31 17:27 epi-math 阅读(252) 评论(0) 编辑收藏举报

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