线性方程组方法

$\mathrm{\S }1$ 如果$AB=O$, 则矩阵$B$的列向量都是齐次线性方程组$Ax=0$的解, 从而架起矩阵方程与线性方程组的解之间的桥梁, 使相关问题得到顺利解决.

例1.1
设$A$是秩为$r$的$m\times n$阶矩阵, 则必存在秩为$n-r$的$n\times (n-r)$阶的矩阵$B$使得$AB=O$.

证明
考虑齐次线性方程组$Ax=0$, 由于$r(A)=r$, 所以该方程组解空间的基础解系有$n-r$个向量, 记为${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_{n-r}$. 令$B=({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_{n-r})$是$n\times (n-r)$阶的矩阵, 则$AB=O$且$\mathrm{r}(B)=n-r$. $◻$

该例有如下变式：

设${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r\in {\text{F}}^n$线性无关，则必存在$n-r$个向量${\alpha }_{r+1},\cdots ,{\alpha }_n\in {\text{F}}^n$使得${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$是${\text{F}}^n$的一组基.

$A{A}^{\ast }=o$给出了矩阵的一种正交关系

$$\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{kj}=\{\begin{array}{ll}|A|,& i=k;\\ 0,& i\ne k.\end{array}$$

在一定的条件下，这表明$A^{\ast }$的列向量是$Ax=0$或与其相关的线性方程组的解向量.

** 例1.2**
若$n$阶方阵$A$的秩$\mathrm{r}(A)=n-1$, 则$\mathrm{r}(A^{\ast })=1$.

** 证明**
因为$A{A}^{\ast }=|A|E=O$, 所以$A^{\ast }$的列向量都是齐次线性方程组$Ax=0$的解; 但该方程组解空间的维数等于$n-\mathrm{r}(A)=1$, 所以$A^{\ast }$的列向量对应成比例, 从而$\mathrm{r}(A^{\ast })⩽1$. 由于$\mathrm{r}(A)=n-1$, 所以存在$A_{ij}\ne 0$, 因而$A^{\ast }\ne O$, 所以$\mathrm{r}(A^{\ast })\ne 0$, 故$\mathrm{r}(A^{\ast })=1$. $◻$

例1.3
设$A=(a_{ij})\in {\text{F}}^{n\times n}$, $|A|\ne 0$. 对$1<r<n$, 设${\eta }_j=(A_{j1},A_{j2},\cdots ,A_{jn}{)}^T,j=r+1,r+2,\cdots ,n$. 则${\eta }_{r+1},{\eta }_{r+2},\cdots ,{\eta }_n$是线性方程组

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0\\ \cdots \cdots \cdots \\ a_{r1}{x}_1+a_{r2}{x}_2+\cdots +a_{rn}{x}_n=0\end{array}$$

的一组基础解系.

证明
记上述线性方程组的系数矩阵为$B$, 则由正交关系立即可得

$$B{\eta }_j=0,j=r+1,r+2,\cdots ,n.$$

因为$|A|\ne 0$, 所以$\mathrm{r}(B)=r$，从而$Bx=0$
的基础解系含$n-r$个向量. 故只需证明${\eta }_{r+1},{\eta }_{r+2},\cdots ,{\eta }_n$线性无关.

因为$\mathrm{r}(A)=n$, 所以$\mathrm{r}(A^{\ast })=n$, 即$A^{\ast }$的列向量线性无关，从而${\eta }_{r+1},{\eta }_{r+2},\cdots ,{\eta }_n$线性无关. $◻$

例1.4
设$A$是$m\times n$阶非零矩阵， $B,C$是$n\times s$阶矩阵. 则左消去律成立(即$AB=AC,A\ne O\Rightarrow B=C$)当且仅当$\mathrm{r}(A)=n$.

证明 $AB=AC,A\ne O\Rightarrow B=C,\mathrm{\forall }B,C\in {\text{F}}^{n\times s}$当且仅当

$$A(B-C)=O,A\ne O\Rightarrow B-C=O,\mathrm{\forall }B,C\in {\text{F}}^{n\times s}$$

令$B-C=({\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_s)$, 则上式成立当且仅当

$$A{\xi }_i=0\Rightarrow {\xi }_i=0,\mathrm{\forall }{\xi }_i\in {\text{F}}^n,$$

当且仅当
$Ax=0$只有零解，当且仅当$\mathrm{r}(A)=n$.

**例1.5 **（上海交通大学2018，华东师范大学2002）
设$A,B$是$n$阶方阵，$\mathrm{r}(A)=n-1$, $B\ne O$满足$AB=BA=O$. 求证：存在多项式$g(x)$使得$B=g(A)$.

证明：(方法1)
由$AB=O$知$\mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(B)⩽n$. 因为$\mathrm{r}(A)=n-1$, $B\ne O$, 所以$\mathrm{r}(B)=1$, 从而可设$B=\alpha {\beta }^T$, 其中$\alpha =(a_1,a_2,\cdots ,a_n{)}^T,\beta =(b_1,b_2,\cdots ,b_n{)}^T$是$n$维列向量. 由于$AB=A\alpha {\beta }^T=O$, 我们断言：$A\alpha =0$. 否则，若$A\alpha \ne 0$, 则由${\beta }^T\ne 0$知存在$b_i\ne 0$, 从而$A(b_i\alpha )\ne 0$, 故$AB\ne O$, 矛盾！
同理，可由$BA=O$可得$A^T\beta =0$.

由于$\mathrm{r}(A)=n-1$, 所以齐次线性方程组$Ax=0$的解形如$s\alpha$, $A^{T}x=0$的解形如$t\beta$, $s,t\in \text{F}$. 由于$A$不可逆，$|A|=0$, 所以$A$的极小多项式$m_A(x)$的常数项为$0$, 即$m_A(x)=xg(x),g(x)]in\text{F}[x]$. 故$Ag(A)=O$, 且$g(A)\ne O$. 所以$\text{r}(g(A)=1$, 从而$g(A)=\eta {\xi }^T$. 由于$\eta$是$Ax=0$的解， 所以$\eta =c\alpha$. 类似地，$\xi =d\beta$, $c,d\in \text{mF}$. 故$g(A)=\eta {\xi }^T=cd\alpha {\beta }^T=cdB$.

(方法2) 若$B=O$, 令$g(x)$是$A$的任一零化多项式，则$B=g(A)$.

若$B\ne O$, 由于$\mathrm{r}(A)=n-1$, 所以$\lambda =0$是$A$的特征值，从而可设$A$的极小多项式为$m_A(\lambda )=\lambda f(\lambda )$, 其中$\mathrm{deg}(f(\lambda ))⩽n-1$. 因此$f(A)\ne O$且$Af(A)=f(A)A=O$. 下证$B$与$f(A)$只相差一个常数因子.

因为$\mathrm{r}(A)=n-1$, 所以可设$\xi$是$Ax=0$的一个基础解系. 由$AB=O$知$B$的列向量都是$Ax=0$的解向量，因而可设为$b_i\xi (1⩽\xi ⩽n)$, 即$B=\xi {\beta }^T$, 其中$\beta =(b_1,b_2,\cdots ,b_n{)}^T\ne 0$. 由$BA=O$即$\xi {\beta }^{T}A=O$知${\beta }^{T}A=0$, 从而$A^T\beta =0$, 即$\beta$是$A^{T}x=0$的非零解. 同理，由$Af(A)=f(A)A=O$知$f(A)=\xi {\eta }^T$, 其中$\eta$也是$A^{T}x=0$的非零解.

由于$A^{T}x=0$的基础解系只含一个非零解，所以存在非零常数$k$使得$\beta =k\eta$. 所以$B=\xi {\beta }^T=k\xi {\eta }^T=kf(A)$. 令$g(x)=k{f}^{(}x)$, 则$B=g(A)$. $◻$

$\mathrm{\S }2$ 利用线性方程组的同解与系数矩阵的秩之间的关系是解决某些问题，特别是矩阵秩的等式的重要途径.

例1.6 设齐次线性方程组$Ax=0$与$Bx=0$的解空间分别为$V_A$ 与$V_B$, 证明

(1) $V_A\subseteq V_B$当且仅当$\mathrm{\exists }Q$, s.t. $B=QA$;

(2) $V_A=V_B$当且仅当$\mathrm{\exists }P,Q$, s.t. $A=PB,B=QA$, 当且仅当$A$ 与$B$ 的行向量组等价（或$A$与$B$行等价）.

证明：(1) $\Rightarrow$：若$V_A\subseteq V_B$, 则$V_A\cap V_B=V_A$, 从而$\{\begin{array}{c}Ax=0\\ Bx=0\end{array}$ 与$Ax=0$同解, 所以$\text{r}(\genfrac{}{}{0ex}{}{A}{B})=\text{r}(A)$, 即$B$的行向量组可由$A$的行向量组线性表示, 从而存在$Q$, 使得$B=QA$.

$\Leftarrow$: $\mathrm{\forall }\alpha \in V_A$, $A\alpha =0$, 从而$B\alpha =QA\alpha =0$, 即$\alpha \in V_B$, 所以$V_A\subseteq V_B$.

(2) 由(1)即得. $◻$

例1.7 （2023数学一）设$A,B$为$n$阶矩阵，$E$为单位矩阵，若方程组$Ax=0$与$Bx=0$同解，则$()$

(A) 方程组$\left(\begin{array}{cc}A& O\\ E& B\end{array}\right)y=0$只有零解；

(B) 方程组$\left(\begin{array}{cc}E& A\\ O& AB\end{array}\right)y=0$只有零解；

(C) 方程组$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ O& B\end{array}\right)y=0$与$\left(\begin{array}{cc}B& A\\ O& A\end{array}\right)y=0$同解；

(D) 方程组$\left(\begin{array}{cc}AB& B\\ O& A\end{array}\right)y=0$与$\left(\begin{array}{cc}BA& A\\ O& AB\end{array}\right)y=0$同解.

解析：$Ax=0$与$Bx=0$同解，故$A$与$B$行等价，从而
$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ O& B\end{array}\right)$与$\left(\begin{array}{cc}B& A\\ O& A\end{array}\right)$行等价，所以选（C).

例1.8 设$A,B$是$n$阶方阵，若$Ax=0$与$Bx=0$同解，且维数等于$m$, 则$\mathrm{r}(A+B)⩽n-m$.

证明：由题设知$Ax=0$的解都是$(A+B)x=0$的解，所以$m=n-\mathrm{r}(A)⩽n-\mathrm{r}(A+B)$, 即$\mathrm{r}(A+B)⩽n-m$. $◻$

例1.9 设$A,B$分别是$m\times s,s\times n$矩阵，则$ABx=0$与$Bx=0$同解当且仅当$\mathrm{r}(AB)=\mathrm{r}(B)$.

证明：必要性：若$ABx=0$与$Bx=0$同解，则$n-\mathrm{r}(AB)=n-\mathrm{r}(B)$, 所以$\mathrm{r}(AB)=\mathrm{r}(B)$.

充分性：设$S_{AB},S_B$分别是$ABx=0$与$Bx=0$的解空间，则显然有$S_B\subseteq S_{AB}$. 另一方面，若$\mathrm{r}(AB)=\mathrm{r}(B)$，则

$$\dim S_B=n-\mathrm{r}(B)=n-\mathrm{r}(AB)=\dim S_{AB},$$

所以$S_{AB}=S_B$, 即$ABx=0$与$Bx=0$同解. $◻$

例1.10 设$A$是$m\times n$阶实方阵, 则$\mathrm{r}(A{A}^T)=\mathrm{r}(A^{T}A)=\mathrm{r}(A)$.

证明：事实上, 要证$\mathrm{r}(A^{T}A)=\mathrm{r}(A)$, 只需证$A^{T}Ax=0$与$Ax=0$同解即可. 由于$Ax=0$的解一定是$A^{T}Ax=0$的解, 故只需证$A^{T}Ax=0$的解也是$Ax=0$的解. 设$\xi$是$A^{T}Ax=0$的任一解, 则$A^{T}A\xi =0$, 从而${\xi }^T{A}^{T}A\xi =0$, 即$(A\xi {)}^T(A\xi )=0$. 所以$A\xi =0$, 即$\xi$也是$Ax=0$的解. 于是$\mathrm{r}(A^{T}A)=\mathrm{r}(A)$. 因此$\mathrm{r}(A{A}^T)=\text{r}((A^T{)}^T{A}^T)=\mathrm{r}(A^T)=\mathrm{r}(A)$. $◻$

该例可作以下变式：设$A$是$m\times n$阶实方阵, 则$\mathrm{r}(A{A}^{T}A)=\mathrm{r}(A)$.

例1.11 设$A$为$n$阶方阵，求证：$\mathrm{r}(A^n)=\mathrm{r}(A^{n+1})=\cdots$.

证明：只需证明齐次线性方程组$A^{n}x=0$与$A^{n+1}x=0$同解.

显然，$A^{n}x=0$的解一定是$A^{n+1}x=0$的解. 下证$A^{n+1}x=0$的解也是$A^{n}x=0$的解.

设$A^{n+1}\alpha =0$, 我们断言$A^n\alpha =0$. 否则，若$A^n\alpha \ne 0$, 则$\alpha ,A\alpha ,\cdots ,A^n\alpha$线性无关. 事实上，设

$$k_1\alpha +k_{1}A\alpha +\cdots +k_n{A}^n\alpha =0,$$

左乘$A^n$, 得$k_0{A}^n\alpha =0$. 由$A^n\alpha \ne 0$得$k_0=0$, 上式变为

$$k_{1}A\alpha +k_2{A}^2\alpha +\cdots +k_n{A}^n\alpha =0,$$

左乘$A^{n-1}$得$k_1{A}^n\alpha =0$. 由$A^n\alpha \ne 0$得$k_1=0$. 类似可证$k_2=\cdots =k_n=0$.
因此$\alpha ,A\alpha ,\cdots ,A^n\alpha \in {\text{F}}^n$线性无关, 矛盾！所以$A^{n+1}x=0$的解也是$A^{n}x=0$的解，即它们同解. 所以$n-\mathrm{r}(A^n)=n-\mathrm{r}(A^{n+1})$, 即$\mathrm{r}(A^n)=\mathrm{r}(A^{n+1})$.

类似可证$\mathrm{r}(A^{n+1})=\mathrm{r}(A^{n+2})$, $\mathrm{r}(A^{n+2})=\text{m}rr(A^{n+3})$, 等等. $◻$

注：利用Jordan标准形方法，可证明存在最小的正整数$k$使得$\mathrm{r}(A^k)=\mathrm{r}(A^{k+1})$, 这里的$k$是特征值$0$的指数（即极小多项式中根$0$的重数）。

例1.12 （重庆大学2003）
设$A,B,C$分别是$m\times n,n\times s,s\times t$矩阵，若$\mathrm{r}(B)=\mathrm{r}(AB)$, 则$\mathrm{r}(BC)=\mathrm{r}(ABC)$.

证明：(方法一) 由于$BCx=0$的解都是$ABCx=0$的解，故只需证$ABCx=0$的解都是$BCx=0$的解即可.

设$\xi$是$ABCx=0$的任一解，即$ABC\xi =0$, 所以$C\xi$是$ABx=0$的解. 由于$\mathrm{r}(B)=\mathrm{r}(AB)$, 故$Bx=0$与$ABx=0$同解，故$C\xi$是$Bx=0$的解，即$BC\xi =0$. 因而$\xi$是$BCx=0$的解.

(方法二) 利用分块矩阵的初等变换，

$$\left(\begin{array}{cc}ABC& O\\ O& B\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cc}ABC& AB\\ O& B\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cc}O& AB\\ -BC& B\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cc}AB& O\\ B& BC\end{array}\right)$$

故$\mathrm{r}(ABC)+\mathrm{r}(B)=\mathrm{r}\left(\begin{array}{cc}ABC& O\\ O& B\end{array}\right)=\mathrm{r}\left(\begin{array}{cc}AB& O\\ B& BC\end{array}\right)⩾\mathrm{r}(AB)+\mathrm{r}(BC)$. 由于$\mathrm{r}(AB(=\mathrm{r}(B)$, 所以$\mathrm{r}(ABC)⩾\mathrm{r}(BC)$. 由于$\text{r}r(ABC)⩽\mathrm{r}(BC)$, 所以$\mathrm{r}(ABC)=\mathrm{r}(BC)$. $◻$

练习 (武汉大学2019)
设$A$是$n$阶方阵，且存在正整数$k$使得\({\rm r}{(A^k)={\rm r}(A^{k+1})\). 证明：对任意的正整数$m$, 有$\mathrm{r}(A^{k+1})=\mathrm{r}(A^{k+m})$.

例1.13 设$A$为数域$\text{F}$上的$n$阶幂零矩阵，$B$为$n$阶方阵，满足$AB=BA$且$\mathrm{r}(AB)=\mathrm{r}(B)$. 求证：$B=O$.

证明：(方法一) 设$A^k=O$. 因为$\mathrm{r}(B)=\mathrm{r}(AB)$, 所以

$$\mathrm{r}(B)=\mathrm{r}(AB)=\mathrm{r}(ABA)=\cdots =\mathrm{r}(AB{A}^{k-1})\stackrel{AB=BA}{=}\mathrm{r}(A^{k}B)=\mathrm{r}(O)=0$$

所以$B=O$.

(方法二) 对任意的$k⩾1$, $\mathrm{r}(B{A}^k)=\mathrm{r}(AB{A}^k)$.
由$AB=BA$, 所以$\mathrm{r}(A^{k}B)=\mathrm{r}(A^{k+1}B),\mathrm{\forall }k⩾1$. 故

$$\mathrm{r}(B)=\mathrm{r}(AB)=\mathrm{r}(A^{2}B)=\cdots =\mathrm{r}(A^{k}B)=0$$

从而$B=O$.

(方法三：同构方法) 设线性$\mathcal{A},\mathcal{B}\in \mathcal{L}({\text{F}}^n)$在标准正交基$\mathcal{B}=\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$下的矩阵分别为$A,B$. 由于$AB=BA$, 所以$\text{Im}\mathcal{B}$是$\mathcal{A}$-不变子空间. 考虑限制变换$\mathcal{A}{\mid }_{\text{Im}\mathcal{B}}:\text{Im}\mathcal{B}\to \text{Im}\mathcal{B}$, 由于

$$\dim \text{Im(mathscr{A}}{\mid }_{\text{Im}\mathcal{B}})=\dim \mathcal{A}(\mathcal{B}({\text{F}}^n))=\mathrm{r}(AB)=\mathrm{r}(B)=\dim \text{Im}\text{B}.$$

故$\mathcal{A}{\mid }_{\text{Im}\mathcal{B}}$是一个满射，从而$0={\mathcal{A}}^n{\mid }_{\text{Im}\mathcal{B}}=(\mathcal{A}{\mid }_{\text{Im}\mathcal{B}}{)}^n$也是$\text{Im}\mathcal{B}$上的满射， 即$\text{Im}\mathcal{B}=0$, 于是$B=O$. $◻$

3、“齐次线性方程组$Ax=0$有非零解当且仅当$|A|=0$”是判断方阵$A$是否可逆的重要方法之一.

例1.14
设$A$是$n$阶可逆矩阵， $\alpha ,\beta \in {\text{F}}^n$是非零列向量. 求证：$({\beta }^T{A}^{-1}\alpha )A-\alpha {\beta }^T$是不可逆矩阵.

证明：只需证线性方程组$[({\beta }^T{A}^{-1}\alpha )A-\alpha {\beta }^T]x=0$有非零解即可.

由于$A$可逆，$\alpha \ne 0$, 所以$A^{-1}\alpha \ne 0$. 由于

$$[({\beta }^T{A}^{-1}\alpha )A-\alpha {\beta }^T](A^{-1}\alpha )=({\beta }^T{A}^{-1}\alpha )\alpha -\alpha ({\beta }^T{A}^{-1}\alpha )=0,$$

所以$A^{-1}\alpha$是$[({\beta }^T{A}^{-1}\alpha )A-\alpha {\beta }^T]x=0$有非零解，从而$({\beta }^T{A}^{-1}\alpha )A-\alpha {\beta }^T$可逆. $◻$

例1.15 设$A$是$n$阶实反对称矩阵，则$|E_n+A|>0$.

证明：首先断言：$|E_n+A|\ne 0$. 否则，若$|E_n+A|=0$, 则存在非零向量$\xi$使得齐次线性方程组$(E_n+A)\xi =0$, 从而

$${\xi }^T\xi +{\xi }^{T}A\xi ={\xi }^T(E+A)\xi ={\xi }^T\cdot 0=0.$$

由于$A^T=-A$, 所以${\xi }^{T}A\xi =({\xi }^{T}A\xi {)}^T=-{\xi }^{T}A\xi$, 从而${\xi }^{T}A\xi =0$. 故${\xi }^T\xi =0$, 即$\xi =0$, 矛盾！

（反证法）假设$|E_n+A|<0$. 令

$$f(x)=|E_n+xA|,x\in \mathbb{R}.$$

由于对任意的$x\in \mathbb{R}$, $xA$都是反对称矩阵，所以对$\mathrm{\forall }x\in [0,1]$, $f(x)=|E_n+xA|\ne 0$. 由于

$$f(0)=|E_n+0|\cdot A=1>0,f(1)=|E_n+A|<0,$$

所以由魏尔斯特拉斯定理知，存在$x_0\in (0,1)$, 使得$f(x_0)=|E_n+x_{0}A|=0$, 矛盾！故$|E_n+A|>0$. $◻$

注：该例有如下变式：

(1) 设$A$是$n$阶实反对称矩阵，$D=\text{diag}(d_1,d_2,\cdots ,d_n)$是对角矩阵且$d_i>0(1⩽i⩽n)$, 则$|D+A|>0$.

(2) 设$A$是$n$阶实反对称矩阵，$D$是正定矩阵，则$|D+A|>0$.

(3) 设$A$是$n$阶实反对称矩阵，$P$是可逆 矩阵，则$|P^{T}P+A|>0$.

例1.16 (大连理工大学2007，重庆大学2004)
设$A=(a_{ij}{)}_{n\times n},.$证明

(1),若 $|a_{ii}|>\sum _{i\ne j}|a_{ij}|,|A|\ne 0;$

(2),若 $a_{ii}>\sum _{i\ne j}|a_{ij}|,,|A|>0,.$

证明：(1) (反证法) 假设$|A|=0$, 则$Ax=0$有非零解$(c_1,c_2,\cdots ,c_n)$, 不妨设$|c_k|=max\{|c_1|,|c_2|,\cdots ,|c_n|\}$. 则

$$a_{k1}{c}_1+\cdots +a_{kk}{c}_k+\cdots +a_{kn}{c}_n=0.$$

从而

$$|a_{kk}{c}_k|=|\sum _{j\ne k}{a}_{kj}{c}_j|⩽\sum _{j\ne k}|a_{kj}|\cdot |c_j|⩽|c_k|\sum _{j\ne k}|a_{kj}|.$$

故

$$|a_{kk}|⩽\sum _{j\ne k}|a_{kj}|.$$

矛盾！所以$|A|\ne 0$.

(2) (反证法) 由(1)知$|A|\ne 0$, 假设$|A|<0$, 令

$$f(x)=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& x{a}_{12}& \cdots & x{a}_{1n}\\ x{a}_{21}& a_{22}& \cdots & x{a}_{2n}\\ ⋮& \cdots & & ⋮\\ x{a}_{n1}& x{a}_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

为$\mathbb{R}$上的连续函数，且对任意$x\in (0,1)$,

$$a_{ii}>\sum _{j\ne i}||a_{ij}|>\sum _{j\ne i}||x{a}_{ij}|.$$

由于

$$f(0)=a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn}>0,f(1)=D<0,$$

所以由魏尔斯特拉斯定理知，存在$x_0\in (0,1)$, 使得$f(x_0)=0$, 矛盾！所以$D>0$.
$◻$

4、齐次线性方程组$Ax=0$解空间$S$的维数表达式$\dim S=n-\mathrm{r}(A)$架起了矩阵的秩与齐次线性方程组解空间的维数之间的桥梁, 利用维数公式, 可以解决很多有关矩阵秩的等式或不等式的问题.

例1.17 (武汉大学2008){
设$n$阶矩阵$A,B$满足$AB=BA$, 求证

\[{\rm r}(A)+{\rm r}{(B)\geqslant {\rm r}(A+B)+{\rm r}(AB). \]

证明：设$U_A,U_B,V,W$分别是齐次线性方程组$Ax=0,Bx=0,ABx=BAx=0,(A+B)x=0$的解空间, 则$U_A\subseteq V,U_B\subseteq V$, 于是$U_A+U_B\subseteq V$; 而且$U_A\cap U_B\subseteq W$. 由维数公式知

$$\begin{array}{rl}\dim U_A+\dim U_B=& \dim U_A\cap U_B+\dim (U_A+U_B)\\ ⩽& \dim W+\dim V.\end{array}$$

由齐次线性方程组解的结构定理知

$$n-\mathrm{r}(A)+n-\mathrm{r}(B)⩽n-\mathrm{r}(A+B)+n-\mathrm{r}(AB),$$

即$\mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(B)⩾\mathrm{r}(A+B)+\mathrm{r}(AB).$ $◻$

例1.18 设$A$是秩为$r$的$n$阶半正定矩阵，则$L=\{x\in {\mathbb{R}}^n\mid x^{T}Ax=0\}$是${\mathbb{R}}^n$的子空间，且$\dim L=n-r$.

证明：因为$A$是半正定矩阵，所以存在$n$阶矩阵$P$, 使得$A=P^{T}P$. 所以

$$x^{T}Ax=x^T(P^{T}P)x=(Px{)}^T(Px)=0\iff Px=0.$$

验证$L$是线性子空间: $\mathrm{\forall }x,y\in L,a,b\in \mathbb{R}$,
因为$x^{T}Ax=0$, 所以$Px=0$; 同理，$Py=0$. 故$P(ax+by)aPx+bPy=0$, 于是
$(ax+by{)}^{T}A(ax+by)=0.$
即$ax+by\in L$.

由于

$$L=\{x\in {\mathbb{R}}^n\mid Px=0\}$$

是齐次线性方程组$Px=0$的解空间，且

$$\mathrm{r}(P)=\mathrm{r}(P^{T}P)=\mathrm{r}(A)=r,$$

所以$\dim L=n-\mathrm{r}(P)=n-r$. $◻$

5、利用齐次线性方程组$Ax=0$的解向量与$A$的行空间正交解决相关问题

例1.19
设$n$维列向量${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_{n-1}$线性无关，且与非零向量${\beta }_1,{\beta }_2$都正交. 证明

(1) ${\beta }_1,{\beta }_2$线性相关；

(2) ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_{n-1},{\beta }_1$线性无关.

证明：
(1) 设$A=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1^T\\ {\alpha }_2^T\\ ⋮\\ {\alpha }_{n-1}^T\end{array}\right)$. 因为
${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_{n-1}$与非零向量${\beta }_1,{\beta }_2$都正交，所以${\beta }_1,{\beta }_2$是齐次线性方程组$Ax=0$的解向量. 由于
${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_{n-1}$线性无关，所以$\text{r}(A)=n-1$, 从而$Ax=0$的解空间$S$的维数$\dim S=1$. 因为${\beta }_1,{\beta }_2\in S$, 所以${\beta }_1,{\beta }_2$线性相关.

(2) 由题设知$({\beta }_1,{\alpha }_i)=0,i=1,2,\cdots ,n-1$. 设

$$k_1{\alpha }_1+\cdots +k_r{\alpha }_{n-1}+l{\beta }_1=0.$$

两边用${\beta }_1$做内积，得

$$l({\beta }_1,{\beta }_1)=0,{\beta }_1\ne 0,$$

所以$l=0$, 从而

$$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2\cdots +k_{n-1}{\alpha }_{n-1}=0.$$

由${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_{n-1}$线性无关知$k_1=k_2=\cdots =k_{n-1}=0$. 故${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_{n-1},{\beta }_1$线性无关. $◻$

6、将线性代数的某些问题转化为线性方程组是线性代数的常用方法.

例1.20 设$n$阶矩阵$A,B$满足$\mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(B)<n$, 证明$A$与$B$有公共的特征值和公共的特征向量.

证明：因为$\mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(B)<n$，所以$\mathrm{r}(A),\mathrm{r}(B)<n$, 从而$|A|=|B|=0$. 故$\lambda =0$是矩阵$A$与$B$的公共特征值.

$A$的属于特征值$\lambda =0$的特征向量是$Ax=0$的非零解向量，$B$的属于特征值$\lambda =0$的特征向量是$Bx=0$的非零解向量，所以属于特征值$\lambda =0$的公共特征向量是
$$\begin{array}{}\text{(1)}& \left(\begin{array}{c}AB\end{array}\right)x=0\end{array}$$
的非零解向量. 由于

$$\text{r}\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)⩽\text{r}(A)+\text{r}(B)<n,$$

所以$\text{1}$有非零解，即$A,B$有公共特征向量. $◻$

7、利用线性方程组解的判定定理，

例1.21 (2016第八届大数竞赛) 设$A_1,A_2,\cdots ,A_{2017}$是$2016$阶实方阵. 证明：关于$x_1,x_2,\cdots ,x_{2017}$的方程

$$det(x_1{A}_1+x_2{A}_2+\cdots +x_{2017}{A}_{2017})=0$$

至少有一组非零实数解.

证明：记

$$A_i=({\alpha }_1^{(i)},{\alpha }_2^{(i)},\cdots ,{\alpha }_{2016}^{(i)}),i=1,2,\cdots ,2017.$$

考虑线性方程组

$$x_1{\alpha }_1^{(1)}+x_2{\alpha }_1^{(2)}+\cdots +x_{2017}{\alpha }_1^{(2017)}=0.$$

由于未知数个数$2017$大于方程的个数$2016$, 所以方程组有非零解$(c_1,c_2,\cdots ,c_{2017}{)}^T$. 从而矩阵

$$c_1{A}_1+c_2{A}_2+\cdots +c_{2017}{A}_{2017}$$

的第一列为零列, 故

$$det(c_1{A}_1+c_2{A}_2+\cdots +c_{2017}{A}_{2017})=0.$$

即$(c_1,c_2,\cdots ,c_{2017}{)}^T$是方程

$$det(x_1{A}_1+x_2{A}_2+\cdots +x_{2017}{A}_{2017})=0$$

的一组非零实数解. $◻$

例1.22 设$\sigma$是$n$维线性空间$V$的线性变换. 如果$\sigma$有$n$个不同的特征值，则$V$中存在一个循环向量，即存在向量$\alpha \in V$使得$\alpha ,\sigma (\alpha ),\cdots ,{\sigma }^{n-1}(\alpha )$是$V$的一组基.

证明：设${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$是对应于特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$的特征向量，令

$$\alpha ={\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_n.$$

下证$\alpha ,\sigma (\alpha ),\cdots ,{\sigma }^{n-1}(\alpha )$线性无关. 设
$$\begin{array}{}\text{(2)}& k_0\alpha +k_1\sigma (\alpha )+\cdots +k_{n-1}{\sigma }^{n-1}(\alpha )=0.\end{array}$$
由于

$${\sigma }^i(\alpha )=\sum _{j=1}^n{\sigma }^i({\alpha }_j)=\sum _{j=1}^n{\lambda }_j^i{\alpha }_j,i=1,2,\cdots ,n,$$

所以$\text{2}$变为

$$\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=1}^n{k}_i{\lambda }_j^i{\alpha }_j=0.$$

因为${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$线性无关，所以

$$\sum _{j=1}^n{k}_i{\lambda }_j^i=0,i=0,1,\cdots ,n-1.$$

由于该线性方程组的系数矩阵

$$\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ {\lambda }_1& {\lambda }_2& \cdots & {\lambda }_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ {\lambda }_1^{n-1}& {\lambda }_2^{n-1}& \cdots & {\lambda }_n^{n-1}\end{array}\right|\ne 0$$

所以$k_0=k_2=\cdots =k_{n-1}=0$, 故$\alpha ,\sigma (\alpha ),\cdots ,{\sigma }^{n-1}(\alpha )$线性无关，从而是$V$的一组基， 即$\alpha$是一个$\sigma$-循环向量. $◻$

例1.23 （重庆大学2005)
设$xOy$平面上的$n⩾3$个结点$M_i(x_i,y_i)(i=1,2,\cdots ,n)$. 证明：$M_1,M_2,\cdots ,M_n$在同一条直线上当且仅当

$$\text{r}\left(\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ x_n& y_n& 1\end{array}\right)=2.$$

证明：必要性：若$M_1,M_2,\cdots ,M_n$在同一条直线$ax+by+c=0$上, 则$a{x}_i+b{y}_i+c=0(1⩽i⩽n)$. 记矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ x_n& y_n& 1\end{array}\right).$$

则齐次线性方程组$Ax=0$有非零解$(a,b,c{)}^T$等价于$\mathrm{r}(A)<3$.
由于$M_1,M_2$不同，故$\left|\begin{array}{cc}{x}_1& 1\\ x_2& 1\end{array}\right|\ne 0$, 从而$\text{r}(A)⩾2$. 所以$\text{r}(A)=2$.

充分性：若$\mathrm{r}(A)=2$, 则方程组$Ax=0$有非零解，设一个非零解为$(a,b,c{)}^T$. 则$a{x}_i+b{y}_i+c=0$, 即$M_1,M_2,\cdots ,M_n$在同一条直线$ax+by+c=0$上. $◻$

标准型方法

分块矩阵方法

特征值方法

摄动法

标准向量方法

同构方法

不变子空间方法

直和分解方法

选取适当基的方法