关于不变子空间不可分解性的注记

设$\sigma :V\to V$是数域$\text{F}$上线性空间$V$的线性变换，$W$是$V$的子空间. 如果$\sigma (W)\subseteq W$, 则称$W$是$\sigma$-不变子空间，简称$\sigma$-子空间. 例如$\sigma$的特征子空间就是$\sigma$-不变子空间，而且$\sigma$可对角化的充要条件是$V$能分解成$\sigma$的特征子空间的直和. 若$\sigma$不可对角化，如果$V$能够分解成$\sigma$-不变子空间的直和，即

$$V=V_1\oplus V_2\oplus \cdots \oplus V_s,$$

其中$V_i$是$\sigma$-不变子空间, $1⩽i⩽s$. 则从每个$V_i$中取一组基，共同构成$V$的一组基，则$\sigma$在该基瞎的矩阵是分块对角矩阵

$$\left(\begin{array}{cccc}{A}_1& & & \\ & A_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & A_s\end{array}\right).$$

因此不变子空间是研究线性变换或矩阵相似标准形的重要工具.

给定线性变换$\sigma :V\to V$, 本文引入$\sigma$-不变子空间不可分解性与不可约性的概念，证明了有限维线性空间$V$能够分解成有限个不可分解$\sigma$-不变子空间的直和，讨论了不可分解$\sigma$-不变子空间的性质、判定，以及与相似对角化之间的关系. 这些问题的研究，有助于学生深入理解不变子空间理论，培养学生的创新能力.

设$\sigma :V\to V$是数域$\text{F}$上线性空间$V$的线性变换，则子空间$\{0\}$与$V$显然是$\sigma$-不变子空间，称为平凡不变子空间.

{\bf 定义1} 设$\sigma :V\to V$是数域$\text{F}$上线性空间$V$的线性变换，$W$是$\sigma$-不变子空间. 如果$W$不能分解成两个非平凡的$\sigma$-不变子空间的直和，则称$W$是不可分解$\sigma$-不变子空间，或简称$W$是$\sigma$-不可分解的.

定理1 设$V$是数域$\text{F}$上的$n$维线性空间, $\sigma$是$V$上的线性变换，则$V$能分解成有限个不可分解$\sigma$-不变子空间的直和.

证明 对$n$作数学归纳法. 当$n=1$时结论显然成立. 假设结论对$n-1$成立，考虑$n$维线性空间$V$. 如果$V$是$\sigma$-不可分解的，则结论成立. 否则，$V=V_1\oplus V_2$,$V_1,V_2$都是$\sigma$-不变子空间，且$\dim V_1<n,\dim V_2<n$. 由归纳假设，$V_1,V_2$都能分解成有限个不可分解$\sigma$-不变子空间的直和，从而$V$也能分解成有限个不可分解$\sigma$-不变子空间的直和. $◻$

引理1 线性空间$V$能够分解成$\sigma$-不变子空间的直和当且仅当存在$V$的一组基使得$\sigma$在该基下的矩阵是分块对角矩阵.

定理2 设$V$是复数域上的$n$维线性空间, 线性变换$\sigma :V\to V$在$V$的基${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n$ 下的矩阵是一Jordan块. 则

(1) $V$中包含${\epsilon }_1$的$\sigma$-子空间只有$V$自身；

(2) $V$中任一非零$\sigma$-子空间都包含${\epsilon }_n$；

(3) $V$是$\sigma$-不可分解的.

证明 设
$\sigma ({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n)=({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n)\left(\begin{array}{ccccc}\lambda & & & & \\ 1& \lambda & & & \\ & \ddots & \ddots & & \\ & & 1& \lambda & \\ & & & 1& \lambda \end{array}\right)$.

(1) 设$W$是$V$的包含${\epsilon }_1$的$\sigma$-子空间. 因为$\sigma {\epsilon }_1=\lambda {\epsilon }_1+{\epsilon }_2$, $\sigma {\epsilon }_1,{\epsilon }_1\in W$, 所以${\epsilon }_2=\sigma {\epsilon }_1-\lambda {\epsilon }_1\in W$; 类似地, ${\epsilon }_3=\sigma {\epsilon }_2-{\lambda }_2{\epsilon }_2\in W,\cdots ,{\epsilon }_n=\sigma {\epsilon }_{n-1}-\lambda {\epsilon }_{n-1}\in W$. 所以$W=V$.

(2) 设$W$是$V$的任一非零$\sigma$-子空间. 取$0\ne \alpha \in W$, $\alpha =\sum _{j=1}^n{a}_j{\epsilon }_j$. 设$a_i$是第一个不为零的系数, 则

$$\begin{array}{rl}\sigma \alpha =& \sum _{j=i}^n{a}_j\sigma {\epsilon }_j=\sum _{j=i}^{n-1}{a}_j(\lambda {\epsilon }_j+{\epsilon }_{j+1})+a_n\lambda {\epsilon }_n\\ =& \lambda (\sum _{j=i}^n{a}_j{\epsilon }_j)+\sum _{j=i}^{n-1}{a}_j{\epsilon }_{j+1}\\ =& \lambda \alpha +{\alpha }_1\end{array}$$

由于$\sigma \alpha ,\lambda \alpha \in W$, 所以${\alpha }_1=\sum _{j=i}^{n-1}{a}_j{\epsilon }_{j+1}\in W$.
类似地,

$$\begin{array}{rl}\sigma {\alpha }_1=& \sum _{j=i}^{n-1}{a}_j\sigma {\epsilon }_{j+1}=\sum _{j=i}^{n-2}{a}_j(\lambda {\epsilon }_{j+1}+{\epsilon }_{j+2})+a_{n-1}\lambda {\epsilon }_n\\ =& \lambda (\sum _{j=i}^{n-1}{a}_j{\epsilon }_{j+1})+\sum _{j=i}^{n-2}{a}_j{\epsilon }_{j+2}\\ =& \lambda {\alpha }_1+{\alpha }_2\end{array}$$

由于$\sigma {\alpha }_1,\lambda {\alpha }_1\in W$, 所以${\alpha }_2=\sum _{j=i}^{n-2}{a}_j{\epsilon }_{j+2}\in W$.
如此继续, 可得

$${\alpha }_{n-i}=a_i{\epsilon }_n\in W.$$

故${\epsilon }_n\in W$.

(3) 由(2)即得. $◻$

定理2表明，如果线性变换$\sigma :V\to V$在某组基下的矩阵表示是一个Jordan块，则$V$是$\sigma$-不可分解的. 该定理的逆命题也是正确的.

定理3 设$\sigma :V\to V$是复数域上的$n$维线性空间$V$上的线性变换，则$V$是$\sigma$-不可分解的当且仅当存在$V$的一组基使得$\sigma$在该基下的矩阵是一个Jordan块.

证明 充分性见定理2，下证必要性.

假设$\sigma$在某基下的Jordan标准形不是一个Jordan块，则由引理1知$V$能够分解成$\sigma$-不变子空间的直和，矛盾！所以$\sigma$在该基下的矩阵是一个Jordan块. \hfill$◻$

定义2 设$\text{id}:V\to V$是恒等变换，$\lambda \in \text{F}$, 线性变换$\sigma -\lambda \text{id}$称为$n$-诣零的，如果存在非零向量$\alpha \in V$，使得$(\sigma -\lambda \text{id}{)}^{n-1}(\alpha )\ne 0$, 但$(\sigma -\lambda \text{id}{)}^n(\alpha )=0$.

引理2 设非零向量$\alpha \in V$，使得$(\sigma -\lambda \text{id}{)}^{n-1}(\alpha )\ne 0$, 但$(\sigma -\lambda \text{id}{)}^n(\alpha )=0$，则

$$\alpha ,(\sigma -\lambda \text{id})(\alpha ),\cdots ,(\sigma -\lambda \text{id}{)}^{n-1}(\alpha )$$

线性无关.

证明 设

$$k_0\alpha +k_1(\sigma -\lambda \text{id})(\alpha )+\cdots +k_{n-1},(\sigma -\lambda \text{id}{)}^{n-1}(\alpha )=0$$

等式两边左乘$(\sigma -\lambda \text{id}{)}^{n-1}$, 得$k_0(\sigma -\lambda \text{id}{)}^{n-1}(\alpha )=0$, 从而$k_0=0$. 于是上式变为

$$k_1(\sigma -\lambda \text{id})(\alpha )+\cdots +k_{n-1},(\sigma -\lambda \text{id}{)}^{n-1}(\alpha )=0$$

等式两边左乘$(\sigma -\lambda \text{id}{)}^{n-2}$, 得$k_1(\sigma -\lambda \text{id}{)}^{n-1}(\alpha )=0$, 从而$k_1=0$. 同理可得$k_2=\cdots =k_{n-1}=0$, 故$\alpha ,(\sigma -\lambda \text{id})(\alpha ),\cdots ,(\sigma -\lambda \text{id}{)}^{n-1}(\alpha )$线性无关.
$◻$

推论1 $n$维线性空间$V$是$\sigma$-不可分解的当且当存在$\lambda \in \text{mF}$使得$\sigma -\lambda \text{id}$是$n$-诣零变换.

证明 充分性：若$\sigma -\lambda \text{id}$是$n$-诣零变换，则存在非零向量$\alpha \in V$，使得$(\sigma -\lambda \text{id}{)}^{n-1}(\alpha )\ne 0$, 但$(\sigma -\lambda \text{id}{)}^n(\alpha )=0$. 由引理2知$\alpha ,(\sigma -\lambda \text{id})(\alpha ),\cdots ,(\sigma -\lambda \text{id}{)}^{n-1}(\alpha )$线性无关，因此是$V$的一组基. 不难验证$\sigma$在这组基下的矩阵为

$$J_n(\lambda )=\left(\begin{array}{ccccc}\lambda & & & & \\ 1& \lambda & & & \\ & \ddots & \ddots & & \\ & & 1& \lambda & \\ & & & 1& \lambda \end{array}\right).$$

由定理3知$V$是$\sigma$-不可分解的.

必要性：若$V$是$\sigma$-不可分解的，则由定理3知存在$V$的一组基${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n$使得

$$\sigma ({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n)=({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n)\left(\begin{array}{ccccc}\lambda & & & & \\ 1& \lambda & & & \\ & \ddots & \ddots & & \\ & & 1& \lambda & \\ & & & 1& \lambda \end{array}\right).$$

于是

$$(\sigma -\lambda \text{id})({\epsilon }_1)={\epsilon }_2,(\sigma -\lambda \text{id}{)}^2({\epsilon }_1)={\epsilon }_3,\cdots ,(\sigma -\lambda \text{id}{)}^{n-1}({\epsilon }_1)={\epsilon }_n$$

且$(\sigma -\lambda \text{id}{)}^n({\epsilon }_1)=0$. 所以$\sigma -\lambda \text{id}$是$n$-诣零变换.
\hfill$◻$

由于特征值的几何重数等于Jordan标准形中对应于该特征值的Jordan快的个数，我们有如下推论：

推论2 $V$是$\sigma$-不可分解的当且当$\sigma$仅有一个特征值且其几何重数等于1.

记$\mathcal{L}(V)$是线性空间$V$上的所有线性变换关于映射的加法与数乘做成的线性空间.

$${\text{End}}_{\sigma }(V)=\{\tau \in \mathcal{L}(V)\mid \sigma \tau =\tau \sigma \}$$

关于映射的加法与乘法做成一个环，称为线性变换$\sigma$的自同态环.
设线性变换$\sigma ,\tau :V\to V$在$V$的某组基下的矩阵为$A,B$, 如果$\sigma \tau =\tau \sigma$, 则$AB=BA$. 记$\mathcal{C}(A)=\{B\in {\text{F}}^{n\times n}\mid AB=BA\}$为$A$的中心化子，则

$${\text{End}}_{\sigma }(V)\cong \mathcal{C}(A).$$

如果环$R$有唯一的极大左（右）理想，则称$R$为局部环. 若局部环$R$是有单位元$1$的环，则$0$和$1$是环$R$仅有的幂等元.

定理4 线性空间$V$是$\sigma$-不可分解的当且仅当${\text{End}}_{\sigma }(V)$是局部环.

证明 必要性：如果$V$是$\sigma$-不可分解的，则由定理3知存在$V$的一组基使得$\sigma$在该基下的矩阵是一个Jordan块$J{J}_n(\lambda )$. 从而

$${\text{End}}_{\sigma }(V)\cong \mathcal{C}(J)=\{\left(\begin{array}{ccccc}{a}_1& & & & \\ a_2& a_1& & & \\ ⋮& \ddots & \ddots & & \\ a_{n-1}& \ddots & \ddots & a_1& \\ a_n& a_{n-1}& \cdots & a_2& a_1\end{array}\right)\mid a_1,a_2,\cdots ,a_n\in \text{mF}\}$$

显然

$$\{\left(\begin{array}{ccccc}0& & & & \\ a_2& 0& & & \\ ⋮& \ddots & \ddots & & \\ a_{n-1}& \ddots & \ddots & 0& \\ a_n& a_{n-1}& \cdots & a_2& 0\end{array}\right)\mid a_2,\cdots ,a_n\in \text{mF}\}$$

是$\mathcal{C}(J)$的唯一的极大理想，从而是局部环.

充分性：反证法，假设$V$是$\sigma$-可分解的，设

$$V=V_1\oplus V_2\oplus \cdots \oplus V_s,$$

其中$V_i$是$\sigma$-{不变子空间, $1⩽i⩽s$. 设$\alpha ={\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_s$, ${\alpha }_i\in V_i(1⩽i⩽s)$, 定义投影变换

$$p_i:V\to V,\alpha \mapsto {\alpha }_i,i=1,2,\cdots ,s.$$

则$p_i\in {\text{End}}_{\sigma }(V)$是幂等元，$i=1,2,\cdots ,s$.
所以${\text{End}}_{\sigma }(V)$不是局部环，矛盾！故$V$是$\sigma$-不可分解的. $◻$

引理3 线性变换$\sigma$可对角化当且仅当对任意$\sigma$-不变子空间$W$, $\sigma {\mid }_W$都是可对角化的.

证明 设$\sigma$的极小多项式为$m(\lambda )$, $\sigma {|}_W$的极小多项式为$m_1(\lambda )$.
则对任意$\alpha \in W$,

$$m(\sigma {|}_W)\alpha =m(\sigma )\alpha =0.$$

所以$m(\sigma {|}_W)=0$, 即$m(\lambda )$是$\sigma {|}_W$的零化多项式, 从而$m_1(\lambda )\mid m(\lambda )$.
由于$\sigma$可对角化, 所以$m(\lambda )$在$\text{F}[\lambda ]$中可分解成不同的一次因式的乘积,
因此$m_1(\lambda )$在$\text{F}[\lambda ]$中也可分解成不同的一次因式的乘积,
即$\sigma {|}_W$也可对角化. $◻$

定理5 $\sigma$可相似对角化当且仅当不可分解$\sigma$-不变子空间都是一维的.

证明 必要性：设$W$是任一不可分解$\sigma$-不变子空间，则由引理3知$\sigma {\mid }_W:W\to W$是可对角化的，从而$\sigma {\mid }_W$的Jordan标准形中的Jordan块都是1阶的. 由定理3知$\dim W=1$.

充分性：如果不可分解$\sigma$-不变子空间都是一维的，则由定理1得

$$V=V_1\oplus V_2\oplus \cdots \oplus V_n$$

其中$V_i$是不可分解$\sigma$-不变子空间，且$\dim V_i=1$, $i=1,2,\cdots ,n$. 于是对任意${\alpha }_i\in V_i$, $\sigma ({\alpha }_i)={\lambda }_i{\alpha }_i$, 即${\alpha }_i$是$V_i$的特征向量，故$V$有$n$个线性无关的特征向量，从而$\sigma$可对角化. $◻$