取模 分数取模 快速幂 费马小定理

INTRO

• 有的题会让你对结果取模，有时候这个结果会是负数，有时候它会是分数，有时候 (a/b)mod p, b可能太大，会爆精度，所以要换为乘法。

负数取模

• 因为有的编译器 % 是取模，有的是取余， 所以最好自己处理一下
• 负数取模ex: -3 取模 4 == 1， -3 取余 4 == -3
• 为了让编译器一定能取模， 则 \(a % MOD\) 写为 \((a+MOD)%MOD\)

分数取模 费马小定理 快速幂

什么是逆元

• x是y的逆元, 则有 \(x*y \equiv 1\ mod\ P\)

什么是费马小定理

• 前提：p是一个质数，a不是p的倍数
• \(a^{p-1} \equiv 1\ mod\ p\)

什么是快速幂

• 快速幂用来快速的求\((a^b)%m\)
• 原理: 求\(a^b\)， b可以写成二进制，然后将b分为多个\(2^k\)相加，则\(a^b\)可以分为多个\(a^{2^k}\)部份相乘。
• 例如：求\(5^13\), 13可以写成\(1101\), 因此\(13=2^0+2^2+2^3\), 则\(a^13=a^{2^0+2^2+2^3} = a^{2^0}*a^{2^2}*a^{2^3}\), 其中 \(a^{2^{k+1}}\ =\ a^{2^k+2^k}\ =\ a^{2^k}*a^{2^k}\)
• 代码

typedef long long ll;
ll binPow(ll a,ll b, ll m){
      ll ans = 1;
      while(b){
            if(b&1) ans = (ans*a)%m; //如果最低为是1
            a = (a*a) % m;
            b>>=1;
      }
      return ans;
}

怎么用快速幂、逆元求分数取模

• 要求\((a/b)\ mod\ p\)，把除换成乘，由于b有逆元c，即\((b*c)mod\ p\ \equiv 1 mod\ p\)
• 则有 \((a/b)\ mod\ p \equiv ((a/b)*b*c)mod\ p\ \equiv (a*c)mod\ p\)
• 那c是多少呢？ 根据费马小定理，你可以知道 \(a^{p-1}\ mod\ p\ \equiv\ a*a^{p-2}\ mod\ p\)
• 因此b的逆元\(c\equiv\ b^{p-2}\)，其实就是\(b^{-1}\ mod\ p\equiv\ b^{p-1}\ mod\ p\)
• 那怎么求c呢? 很多时候p都很大 例如1e9+7这样的，那我们就用快速幂求出b的逆元然后带回去就可以求到啦。