New Year and Permutation CodeForces - 1284C 【组合数学】

题意

定义permutation，里面要有1到n所有数字，并且每个数字唯一。定义\([l,r], 1\leq l\leq r\leq n\), 为从l到r的subsegment。
定义framed segment: \(max\{ p_l,p_{l+1},…,p_r \}−min\{ p_l,p_{l+1},…,p_r \}=r−l.\)的 \([l,r]\),\([i,i]\)是framed segment。
定义p的快乐值: \((l,r)\)的数量，其中\(1\leq l\leq r\leq n, [l,r]是framed segment\)
给你一个n,MOD。让你求n长的permutation的快乐值，并模MOD。

思路

• 组合数学推一下公式
• 枚举framed segment的长度\(len = r-l+1\)。
• \(ans = (\sum_{len=1}^n{C_{n-len+1}^1 * (len)!*C_{n-len+1}^1*(n-len)!})\%MOD\)
• \(C_{n-len+1}^1\): 从n-len+1中选个一个数字作为这个framed segement的最小值，最小值确定了，len确定了，r-l就确定了，最大值也就确定了。n-len+1因为最大值也要在<=n。
• \(len!\): 这个framed segment内部的全排列。
• \(C_{n_len+1}^1\): 给这个framed segment选一个位置。
• \((n-len)!\): 剩下的元素排列一下。
• 简化，发现实际上可以把framed segment整个看成一个，\(C_{n-len+1}^1*(n-len)!=(n-len+1)!\)
• 所以\(ans = (\sum_{len=1}^n{(n-len+1)*(len)!*(n-len)!})\%MOD\)

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=250005;
typedef long long ll;
ll fac[MAXN];
int main(){
	ll n;
	int m;
	scanf("%lld%d",&n,&m);
	ll ans=0;
	fac[0]=1;
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		fac[i]=(fac[i-1]*i)%m;
	} 
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		ans=(ans+((((n-i+1)*fac[i])%m)*fac[n-i+1])%m)%m;
	} 
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}