牛客网多校训练第九场H Cutting Bamboos

题目链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/889/H

题意：给出n颗竹子的高度，q次询问，每次询问给出l，r，x，y，每次选取[l，r]中的竹子，砍y次砍掉所有竹子，每次砍下来的竹子长度和是相同的，问你第x次应该砍在哪个高度上

解题思路：由于总共砍的次数已经给出，因此我们可以知道砍x次总共砍的量 Total = $\sum\limits_{i=l}^{r}$h[i]*x/y，那么问题就变成了一个方程$\sum\limits_{i=l}^{r}$max(0,h[i]-ans)=Total，我们需要求的就是ans

也就是求出区间内大于ans的数减掉ans的和等于Total，利用主席树我们可以求出区间大于一个数的个数num和它们的和sum，接下来我们只需二分ans验证即可。时间复杂度O($nlog^{2}n$)，后来我了解到一种更好的做法，

我们需要取区间大于ans的一段数去计算答案，因此我们递归处理这个区间[L,R]，先计算以右区间[M+1,R]的值代入方程，然后以区间中值M（为什么选M，后面会解释）作为假设的ans，这时我们可以得到一个值tmp，令val=Total

1、如果tmp<Total，说明这个ans选的太大了，我们还需要一个更小的ans，因此递归处理当前区间的[L,M]去找寻更适合的ans，这时递归我们需要让val-=tmp，也就是说，我们只需要传入当前的偏差值进去，在递归到左区间[L,M]时，我们继续选取区间中值ML作为假设的ans，这时我们需要重新计算tmp值，然而当前的Total已经出现了问题(它是根据上一次的假设ans=M计算的)，为了修正Total，我们只需在计算tmp时加上前一次减掉的num个M（也就是当前左区间的R，这也是为什么选取M作为假设ans的原因了，我们可以得到上一次的假设ans），然后对当前的假设ans=ML重新计算tmp值，注意，我们要维护一个当前已经选取的竹子数量num，这样我们才可以去计算tmp，计算好tmp值后，继续递归即可

2、如果tmp>Total，说明这个ans选的太小了，我们需要到右区间[M+1,R]去重新寻找合适的假设ans，因此我们保持参数不变递归右区间即可

当我们到达递归终点，L==R时，说明，我们如果选择R为假设值仍然存在偏差val（val可能是0，但这没关系），而选择L-1会导致$\sum\limits_{i=l}^{r}$max(0,h[i]-ans)>Total,

因此我们可以根据这个偏差值val去修正假设的ans=L去得到真正的答案，真正的ans=L-val/(以及选取的所有竹子个数+高为L的竹子个数（以L为假设ans时，我们认为高为L的竹子是没有被砍的）)时间复杂度O(nlogn)

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 2e5+5;
#define eps 1e-8
struct Node
{
    int l,r,num;
    ll sum;
}node[maxn*20];
int h[maxn],root[maxn],tot;
ll preSum[maxn];
void update(int &x,int y,int l,int r,int val)
{
    x=++tot;
    node[x]=node[y];
    ++node[x].num;
    node[x].sum+=val;
    if(l==r)return;
    int m=(l+r)>>1;
    if(val<=m)update(node[x].l,node[y].l,l,m,val);
    else update(node[x].r,node[y].r,m+1,r,val);
}
double query(int x,int y,int L,int R,double val,ll num)
{
    if(L==R)return L-val/(node[x].num-node[y].num+num);
    int m=(L+R)>>1;
    ll cnt=node[node[x].r].num-node[node[y].r].num;
    ll tmp=node[node[x].r].sum-node[node[y].r].sum-cnt*m+num*(R-m);
    if(tmp+eps<val)return query(node[x].l,node[y].l,L,m,val-tmp,num+cnt);
    return query(node[x].r,node[y].r,m+1,R,val,num);
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int n, q;
    cin >> n >> q;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> h[i];
        preSum[i] = preSum[i - 1] + h[i];
        update(root[i], root[i - 1], 1, 1e5, h[i]);
    }
    while (q--) {
        int l, r, x, y;
        cin >> l >> r >> x >> y;
        printf("%.12f\n", query(root[r], root[l - 1], 1, 1e5, 1.0 * (preSum[r] - preSum[l - 1]) / y * x, 0));
    }
    return 0;
}