牛客网多校训练第四场C sequence
(牛客场场有笛卡尔树,场场都不会用笛卡尔树。。。自闭,补题心得)
题目链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/884/C
题意:给出两个序列a,b,求max{min a[l,r]*sum b[l,r]}
一个比较显然的做法是通过线段树/ST表维护区间最值,不过nlogn的做法容易被卡常,(zkw线段树可过)不过赛时提高了时限到3s,基本上就很好写了
直接维护区间最小/大值下标,然后从最小值开始进行计算答案,在最小值的左边找到最小/最大的前缀和(找最大是为了处理min a[i]<0的情况),最小值的右边也找到最小/最大值的前缀和,计算一次答案,然后以最小值为分界,划分为两部分继续计算即可
线段树查询效率logn,总复杂度O(nlogn),ST表预处理nlogn,总复杂度也是O(nlogn)且常数较大,赛后发现有神仙用了O(n)的做法,也学习了一下,没错,就是神奇的笛卡尔树
我们分析这个求解答案的过程,发现就是先找最小值,然后找次小...的顺序,我们对a数组构建笛卡尔树,那么这个求解答案的过程就是对树的dfs的过程,既然是对树的dfs,我们就可以用mn[rt],mx[rt]数组来记录以rt为根这颗子树中包含前缀和的最小前缀和,
然后在dfs的过程中,用子树不断更新即可,然后我们O(1)地计算每颗子树的答案即可,总体复杂度是O(n)的
笛卡尔树:
通过单调栈来构造,这个过程是O(n)的,每次元素x入栈,找到前一个比他小的元素p,那么它就是这颗笛卡尔树上元素p对应节点的右儿子,原先的右儿子q变成了当前插入元素x的左儿子,原先的右儿子q也就是最后一个出栈的元素,如果没有元素出栈,那就是作为一个叶子节点插入了笛卡尔树,插入位置是未入栈时栈顶元素的右儿子
笛卡尔树的性质:元素下标满足二叉搜索树的性质,元素值满足堆的性质
笛卡尔树根节点是单调栈栈底元素,也是整个序列的最小值,每颗子树的根节点都是一个范围内的极小值,树上两个元素的LCA可以用来解决RMQ问题
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; using ll = long long; const int N = 3e6+5; int a[N]; ll b[N]; int son[N][2],n;//0左儿子1右儿子 int sta[N]; ll mn[N],mx[N];//记录当前子树中最小、最大的前缀和 ll ans=-3e18; void dfs(int rt,int l,int r) { if(son[rt][0])dfs(son[rt][0],l,rt-1); if(son[rt][1])dfs(son[rt][1],rt+1,r); //左子树不包括l-1这个点,然而我们要将这个前缀和考虑进去,否则会少计算到b[l],右子树不包括根节点,b[rt]也要考虑进去 ll minl=min(mn[son[rt][0]],b[l-1]); ll maxl=max(mx[son[rt][0]],b[l-1]); ll minr=min(mn[son[rt][1]],b[rt]); ll maxr=max(mx[son[rt][1]],b[rt]); ans=max(ans,a[rt]*(maxr-minl)); ans=max(ans,a[rt]*(minr-maxl)); //这样写同时也把当前子树根考虑进去了 mn[rt]=min(minl,minr); mx[rt]=max(maxl,maxr); } int main() { int n; ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0); cin>>n; int top=0; for(int i=1;i<=n;i++) { cin>>a[i]; while (top&&a[i]<a[sta[top]])son[i][0]=sta[top--]; if(top)son[sta[top]][1]=i; sta[++top]=i; } for(int i=1;i<=n;i++) { cin>>b[i]; b[i]+=b[i-1]; } mn[0]=3e18;mx[0]=-3e18; dfs(sta[1],1,n); cout<<ans<<endl; return 0; }