算法 快速排序

Algorithm Gossip: 快速排序法（一）

说明：

快速排序法（quick sort）是目前所公认最快的排序方法之一（视解题的对象而定），虽然快速排序法在最差状况下可以达O(n²)，但是在多数的情况下，快速排序法的效率表现是相当不错的。

快速排序法的基本精神是在数列中找出适当的轴心，然后将数列一分为二，分别对左边与右边数列进行排序，而影响快速排序法效率的正是轴心的选择。

这边所介绍的第一个快速排序法版本，是在多数的教科书上所提及的版本，因为它最容易理解，也最符合轴心分割与左右进行排序的概念，适合对初学者进行讲解。

解法

这边所介绍的快速演算如下：

1. 将最左边的数设定为轴，并记录其值为 s

回圈处理：

1. 令索引 i 从数列左方往右方找，直到找到大于 s 的数
2. 令索引 j 从数列右方往左方找，直到找到小于 s 的数
3. 如果 i >= j，则离开回圈
4. 如果 i < j，则交换索引i与j两处的值
5. 将左侧的轴与 j 进行交换
6. 对轴左边进行递回
7. 对轴右边进行递回

透过以下演算法，则轴左边的值都会小于s，轴右边的值都会大于s，如此再对轴左右两边进行递回，就可以对完成排序的目的，例如下面的实例，*表示要交换的数，[]表示轴：

• [41]　24　76*　11　45　64　21　69　19　36*
• [41]　24　36　11　45*　64　21　69　19*　76
• [41]　24　36　11　19　64*　21*　69　45　76
• [41]　24　36　11　19　21　64　69　45　76
• 21　24　36　11　19　[41]　64　69　45　76

在上面的例子中，41左边的值都比它小，而右边的值都比它大，如此左右再进行递回至排序完成。 

代码体现

public class QuickSort {
    public static void sort(int[] number) {
        sort(number, 0, number.length-1);
    }
    
    private static void sort(int[] number, 
                             int left, int right) {
        if(left < right) { 
            int s = number[left]; 
            int i = left; 
            int j = right + 1; 

            while(true) { 
                // 向右找 
                while(i + 1 < number.length && number[++i] < s) ;  
                // 向左找 
                while(j -1 > -1 && number[--j] > s) ;  
                if(i >= j) 
                    break; 
                swap(number, i, j); 
            } 

            number[left] = number[j]; 
            number[j] = s; 

            sort(number, left, j-1);   // 对左边进行递回 
            sort(number, j+1, right);  // 对右边进行递回 
        }
    }
    
    private static void swap(int[] number, int i, int j) {
        int t; 
        t = number[i]; 
        number[i] = number[j]; 
        number[j] = t;
    }
}

Algorithm Gossip: 快速排序法（二）

说明

在快速排序法（一） 中，每次将最左边的元素设为轴，而之前曾经说过，快速排序法的加速在于轴的选择，在这个例子中，只将轴设定为中间的元素，依这个元素作基准进行比较，这可以增加快速排序法的效率。

解法

在这个例子中，取中间的元素s作比较，同样的先得右找比s大的索引 i，然后找比s小的索引 j，只要两边的索引还没有交会，就交换 i 与 j 的元素值，这次不用再进行轴的交换了，因为在寻找交换的过程中，轴位置的元素也会参与交换的动作，例如：

41　24　76　11　45　64　21　69　19　36

首先left为0，right为9，(left+right)/2 = 4（取整数的商），所以轴为索引4的位置，比较的元素是45，您往右找比45大的，往左找比45小的进行交换：

• 41　24　76*　11　[45]　64　21　69　19　*36
• 41　24　36　11　45*　64　21　69　19*　76
• 41　24　36　11　19　64*　21*　69　45　76
• [41　24　36　11　19　21]　[64　69　45　76]

完成以上之后，再初别对左边括号与右边括号的部份进行递回，如此就可以完成排序的目的。 

代码体现

public class QuickSort {
    public static void sort(int[] number) {
        sort(number, 0, number.length-1);
    }
    
    private static void sort(int[] number, 
                             int left, int right) {
        if(left < right) { 
            int s = number[(left+right)/2]; 
            int i = left - 1; 
            int j = right + 1; 

            while(true) { 
                // 向右找
                while(number[++i] < s) ;
                // 向左找
                while(number[--j] > s) ; 
                if(i >= j) 
                    break; 
                swap(number, i, j); 
            } 

            sort(number, left, i-1);   // 对左边进行递回 
            sort(number, j+1, right);  // 对右边进行递回 
        }
    }
    
    private static void swap(int[] number, int i, int j) {
        int t; 
        t = number[i]; 
        number[i] = number[j]; 
        number[j] = t;
    }
} 

Algorithm Gossip: 快速排序法（三）

说明

之前说过轴的选择是快速排序法的效率关键之一，在这边的快速排序法的轴选择方式更加快了快速排序法的效率，它是来自演算法名书 Introduction to Algorithms 之中。

解法

先说明这个快速排序法的概念，它以最右边的值s作比较的标准，将整个数列分为三个部份，一个是小于s的部份，一个是大于s的部份，一个是未处理的部份，如下所示 ： 

在排序的过程中，i 与 j 都会不断的往右进行比较与交换，最后数列会变为以下的状态： 

然后将s的值置于中间，接下来就以相同的步骤会左右两边的数列进行排序的动作，如下所示： 

整个演算的过程，直接摘录书中的虚拟码来作说明： 

QUICKSORT(A, p, r) 
    if p < r 
        then q <- PARTITION(A, p, r) 
                 QUICKSORT(A, p, q-1) 
                 QUICKSORT(A, q+1, r) 
end QUICKSORT 

PARTITION(A, p, r) 
    x <- A[r] 
    i <- p-1 
    for j <- p to r-1 
        do if A[j] <= x 
                 then  i <- i+1 
                         exchange A[i]<->A[j] 
    exchange A[i+1]<->A[r] 
    return i+1 
end PARTITION  

一个实际例子的演算如下所示：

                                

代码体现

public class QuickSort {
    public static void sort(int[] number) {
        sort(number, 0, number.length-1);
    }
    
    private static void sort(int[] number, 
                             int left, int right) {
        if(left < right) { 
            int q = partition(number, left, right); 
            sort(number, left, q-1); 
            sort(number, q+1, right); 
        } 

    }

    private static int partition(int number[], 
                                 int left, int right) {  

        int s = number[right]; 
        int i = left - 1; 

        for(int j = left; j < right; j++) { 
            if(number[j] <= s) { 
                i++; 
                swap(number, i, j); 
            } 
        } 

        swap(number, i+1, right); 
        
        return i+1; 
    } 

    private static void swap(int[] number, int i, int j) {
        int t; 
        t = number[i]; 
        number[i] = number[j]; 
        number[j] = t;
    }
}