高斯消元+组合数+卡特兰数
高斯消元+组合数+卡特兰数
高斯消元
\(O(n^3)\)的线性时间内求解n元线性方程组
\[\\
\begin{cases}
\ a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1 \\
\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2 \\
\ ... \\
\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=b_n \\
\end{cases}
\\
解的情况:无解、无穷多解、唯一解\\
\\
对系数矩阵进行如下初等行列变换操作:\\
1.把某一行乘一个非零的数\\
2.交换某两行\\
3.把某行的若干倍加到另一行上去\\
\\
1. 完美阶梯型——唯一解\\
2. 0=非零——无解\\
3. 0=0——无穷多组解\\
\\
高斯消元:\\
枚举每一列c:\\
1.找到当前列中绝对值最大的这一行\\
2.将这行换到最上面(第c行)去\\
3.将该行的第一个数变成1\\
4.将下面所有行的第c列消成0\\
\]
高斯消元算法模板
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N = 110;
const double eps = 1e-6;
double a[N][N];
int n;
int guass()
{
int c, r;
// 对每一列进行消元
for(c = 1, r = 1; c <= n; c ++)
{
// 找出当前列的绝对值的最大值
int t = r;
for(int i = r; i <= n; i ++)
{
if(fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c])) t = i;
}
// 如果最大值为0,跳出
if(fabs(a[t][c]) < eps) continue;
// 将最大值所在的那一行换到最上面
for(int i = c; i <= n + 1; i ++) swap(a[t][i], a[r][i]);
// 将r行c列最大值化为1
for(int i = n + 1; i >= c; i --) a[r][i] /= a[r][c];
// 将c列下面的值都化为0
for(int i = r + 1; i <= n; i ++)
{
if(fabs(a[i][c]) < eps) continue;
for(int j = n + 1; j >= c; j --){
a[i][j] -= a[i][c] * a[r][j];
}
}
r ++;
}
if(r < n + 1)
{
for(int i = r; i <= n; i ++)
{
if(fabs(a[i][n + 1]) > eps) return 3; // 无解
}
return 2; // 有无穷多组解
}
// 计算所有答案
for(int i = n - 1; i >= 1; i --)
{
for(int j = i + 1; j <= n; j ++)
{
a[i][n + 1] -= a[i][j] * a[j][n + 1];
}
}
return 1; // 唯一解
}
int main()
{
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
for(int j = 1; j <= n + 1; j ++)
{
scanf("%lf", &a[i][j]);
}
}
int t = guass();
if(t == 1)
{
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
if(fabs(a[i][n + 1]) < eps) a[i][n + 1] = 0.00; // 特判-0.00
printf("%.2f\n", a[i][n + 1]);
}
}
else if(t == 2)
{
cout << "Infinite group solutions" << endl;
}
else
{
cout << "No solution" << endl;
}
return 0;
}
高斯消元解异或线性方程组
M[1][1]x[1] ^ M[1][2]x[2] ^ … ^ M[1][n]x[n] = B[1]
M[2][1]x[1] ^ M[2][2]x[2] ^ … ^ M[2][n]x[n] = B[2]
…
M[n][1]x[1] ^ M[n][2]x[2] ^ … ^ M[n][n]x[n] = B[n]
方程组中的系数和常数为 0 或 1，每个未知数的取值也为 0 或 1。
其中 ^ 表示异或(\(XOR\))，\(M[i][j]\) 表示第 \(i\) 个式子中 \(x[j]\) 的系数，\(B[i]\) 是第 \(i\) 个方程右端的常数，取值均为 0 或 1。
异或 = 不进位加法0
- 消成上三角矩阵
- 判断解的情况
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 110;
int n;
int a[N][N];
int gauss()
{
int c, r;
for(c = 1, r = 1; c <= n; c ++)
{
int t = r;
for(int i = r; i <= n; i ++)
{
if(fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c])) t = i;
}
if(a[t][c] == 0) continue;
for(int i = c; i <= n + 1; i ++) swap(a[t][i], a[r][i]);
for(int i = n + 1; i >= c; i --) a[r][i] /= a[r][c];
for(int i = r + 1; i <= n; i ++)
{
if(a[i][c] == 0) continue;
for(int j = n + 1; j >= c; j --)
{
a[i][j] ^= a[r][j];
}
}
r ++;
}
if(r < n + 1)
{
for(int i = r; i <= n; i ++)
{
if(a[i][n + 1] != 0) return 3;
}
return 2;
}
for(int i = n - 1; i >= 1; i --)
{
for(int j = i + 1; j <= n; j ++)
{
a[i][n + 1] ^= a[i][j] * a[j][n + 1];
}
}
return 1;
}
int main()
{
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
for(int j = 1; j <= n + 1; j ++)
{
cin >> a[i][j];
}
}
int t = gauss();
if(t == 1)
{
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
cout << a[i][n + 1] << endl;
}
}
else if(t == 2)
{
cout << "Multiple sets of solutions" << endl;
}
else
{
cout << "No solution" << endl;
}
}
求组合数
递推法
10万组询问，a、b范围2000
\(O(n^2)\)
\[C_a^b=\frac{a!}{b!(a-b)!}\\
C_a^b=C_{a-1}^{b}+C_{a-1}^{b-1}\\
\]
递推法求组合数算法模板
// c[a][b] 表示从a个苹果中选b个的方案数
for (int i = 0; i < N; i ++ )
for (int j = 0; j <= i; j ++ )
if (!j) c[i][j] = 1;
else c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;
预处理逆元
1万组询问，a、b范围 105
\(O(nlog\;n)\)
\[C_a^b=\frac{a!}{b!(a-b)!}\\
可以预处理阶乘\\
fact[i] = i!\;mod\; 10^9+7\\
infact[i] = (i!)^{-1}\;mod\;10^9+7\\
C_a^b=fact[a]\times infact[b-a] \times infact[b]\\
\]
通过预处理逆元的方式求组合数算法模板
// 首先预处理出所有阶乘取模的余数fact[N]，以及所有阶乘取模的逆元infact[N]
// 如果取模的数是质数，可以用费马小定理求逆元
ll qmi(ll a, ll k, ll p) // 快速幂模板
{
ll res = 1;
while (k)
{
if (k & 1) res = res * a % p;
a = a * a % p;
k >>= 1;
}
return res;
}
// 预处理阶乘的余数和阶乘逆元的余数
fact[0] = infact[0] = 1;
for (int i = 1; i < N; i ++ )
{
fact[i] = fact[i - 1] * i % mod;
infact[i] = qmi(fact[i], mod - 2, mod) % mod;
}
C_a^b = fact[a] * infact[b] % mod * infact[a - b] % mod
Lucas定理
20组询问，a、b范围 1018，p范围105
\(p*log\;p*log\;n\)
\[C_a^b \equiv C_{a\;mod\;p}^{b\;mod\;p}\times C_{a/p}^{b/p}\;(mod\; p)\\
先将a、b化为比p小的数,再通过\\
C_a^b=\frac{a!}{b!(a-b)!}=\frac{a\times (a-1)\times ... \times 1}{b \times (b -1)\times ... \times 1 \times (a-b) \times ... \times 1}=\frac{a\times...\times(a-b+1)}{b \times (b -1)\times ... \times 1 }\\
\]
Lucas定理算法模板
// 若p是质数，则对于任意整数 1 <= m <= n，有：
C(n, m) = C(n % p, m % p) * C(n / p, m / p) (mod p)
ll qmi(ll a, ll k, ll p) // 快速幂模板
{
ll res = 1 % p;
while (k)
{
if (k & 1) res = res * a % p;
a = a * a % p;
k >>= 1;
}
return res;
}
ll C(ll a, ll b, ll p) // 通过定理求组合数C(a, b)
{
if (a < b) return 0;
ll x = 1, y = 1; // x是分子，y是分母
for (int i = a, j = 1; j <= b; i --, j ++ )
{
x = x * i % p;
y = y * j % p;
}
return x * qmi(y, p - 2, p) % p;
}
int lucas(ll a, ll b, int p)
{
if (a < p && b < p) return C(a, b, p);
return C(a % p, b % p, p) * lucas(a / p, b / p, p) % p;
}
分解质因数法
\[C_a^b=\frac{a\times(a-1)\times...\times(a-b+1)}{b\times(b-1)\times...\times1}=\frac{a!}{b!(a-b)!}\\
=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_k^{\alpha_k}\\
\]
\[求分子a!分解每个p的次数:\\
cnt_p(a!)=\lfloor \frac{a}{p}\rfloor + \lfloor \frac{a}{p^2}\rfloor+\lfloor \frac{a}{p^3}\rfloor+...=p的倍数中\in[1,a]的个数+p……2的倍数中\in[1,a]的个数+...\\
为什么只+1而不+k\\
因为a!中p^k低阶项的次数已经被算过了\\
比如p^3既是p 的倍数也是P^2的倍数\\
8!=8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1\\
2的倍数:2、4、6、8\\
2^2的倍数:4、8\\
2^3的倍数:8\\
加起来是7\\
8=2\times2\times2,6=2\times3,4=2\times2,2=2\\
共有7个2
\]
分解质因数法求组合数算法模板
当我们需要求出组合数的真实值，而非对某个数的余数时，分解质因数的方式比较好用：
1. 筛法求出范围内的所有质数
2. 通过 C(a, b) = a! / b! / (a - b)! 这个公式求出每个质因子的次数。 n! 中p的次数是 n / p + n / p^2 + n / p^3 + ...
3. 用高精度乘法将所有质因子相乘
int primes[N], cnt; // 存储所有质数
int sum[N]; // 存储每个质数的次数
bool st[N]; // 存储每个数是否已被筛掉
void get_primes(int n) // 线性筛法求素数
{
for (int i = 2; i <= n; i ++ )
{
if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
{
st[primes[j] * i] = true;
if (i % primes[j] == 0) break;
}
}
}
int get(int n, int p) // 求n！中的次数
{
int res = 0;
while (n)
{
res += n / p;
n /= p;
}
return res;
}
vector<int> mul(vector<int> &A, int b) // 高精度乘低精度模板
{
vector<int> C;
int t = 0;
for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ )
{
if (i < A.size()) t += A[i] * b;
C.push_back(t % 10);
t /= 10;
}
while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
return C;
}
int main()
get_primes(a); // 预处理范围内的所有质数
for (int i = 0; i < cnt; i ++ ) // 求每个质因数的次数
{
int p = primes[i];
sum[i] = get(a, p) - get(b, p) - get(a - b, p);
}
vector<int> res;
res.push_back(1);
for (int i = 0; i < cnt; i ++ ) // 用高精度乘法将所有质因子相乘
for (int j = 0; j < sum[i]; j ++ )
res = mul(res, primes[i]);
for(int i = res.size() - 1; i >= 0; i --)
printf("%d", res[i]);
卡特兰数
卡特兰数算法模板
给定n个0和n个1，它们按照某种顺序排成长度为2n的序列，满足任意前缀中0的个数都不少于1的个数的序列的数量为：
Cat(n) = C(2n, n) / (n + 1)
\[n=3\\
1.000111\\
2.001101\\
3.001011\\
4.010011\\
5.010101\\
\\
C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}=\frac{C_{2n}^n}{n+1}
\]
将 01 序列置于坐标系中，起点定于原点。若 0 表示向右走，1 表示向上走，那么任何前缀中 0 的个数不少于 1 的个数就转化为，路径上的任意一点，横坐标大于等于纵坐标。题目所求即为这样的合法路径数量。
下图中，表示从 \((0,0)\) 走到 \((n,n)\) 的路径，在绿线及以下表示合法，若触碰红线即不合法。
由图可知，任何一条不合法的路径（如黑色路径），都对应一条从 \((0,0)\) 走到 \((n−1,n+1)\) 的一条路径（如灰色路径）。而任何一条 \((0,0)\) 走到 \((n−1,n+1)\) 的路径，也对应了一条从\((0,0)\) 走到 \((n,n)\) 的不合法路径。
从\((0,0)\)走到\((n,n)\)的路径有\(C_{2n}^n\)条，从\((0,0)\)走到\((n-1,n+1)\)的路径有\(C_{2n}^{n-1}\)条，合法路径条数为
\[C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}=\frac{(2n)!}{n!n!}-\frac{(2n)!}{(n-1)!(n+1)!}\\
=\frac{(2n)!}{n\times(n-1)\times...\times1\times n\times(n-1)\times...\times1}-\frac{(2n)!}{(n-1)\times...\times 1\times (n+1) \times n \times...\times 1}\\
=\frac{(2n)!}{n\times(n-1)\times...\times1\times n\times(n-1)\times...\times1}-\frac{n}{n+1}\times \frac{(2n)!}{n\times (n-1)\times...\times 1\times n \times...\times 1}\\
=\frac{1}{n+1}\times \frac{(2n)!}{n!n!}= \frac{C_{2n}^n}{n+1}\\
这里的n+1也要记得用逆元处理!!!
\]
