QuantLib 金融计算——数学工具之优化器
如果未做特别说明，文中的程序都是 Python3 代码。
QuantLib 金融计算——数学工具之优化器
载入模块
import QuantLib as ql
import scipy
print(ql.__version__)
1.12
概述
在量化金融的模型校准过程中，最重要的工具是对函数 \(f : R^n \to R\) 的优化器。通常遇到的最优化问题是一个最小二乘问题。例如，寻找一个模型的参数使得某些损失函数最小化。
quantlib-python 中的最优化计算委托给 Optimizer 类，用户需要配置合适的参数以描述最优化问题，需要注意的是 Optimizer 对象默认求解的是某个函数“最小化”问题。
Optimizer
Optimizer 类的构造函数不接受参数，求解最优化问题的方式也非常简单，仅需调用 solve 函数即可：
solve(function,
c,
m,
e,
iv)
function：函数或函数对象，返回一个浮点数，所接受的参数是若干独立的浮点数；c：Constraint对象，描述优化问题的约束条件；m：OptimizationMethod对象，优化算法引擎；e：EndCriteria对象，描述优化问题的终止条件；iv：Array对象，优化计算的初始值。
solve 函数返回一个 Array 对象，存储找到的最小值点。
Constraint
quantlib-python 提供的具体约束条件均继承自 Constraint 类，有如下几种：
NoConstraint：无约束PositiveConstraint：要求所有参数为正数BoundaryConstraint：要求所有参数在某个区间内CompositeConstraint：要求所有参数同时满足两个约束条件NonhomogeneousBoundaryConstraint：对每个参数分别约束，要求其在某个区间内
OptimizationMethod
quantlib-python 提供的具体优化算法均继承自 OptimizationMethod 类，有如下几种：
LevenbergMarquardt：Levenberg-Marquardt 算法，实现基于 MINPACK；Simplex：单纯形法；ConjugateGradient：共轭梯度法；SteepestDescent：最速下降法；BFGS：Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno 算法；DifferentialEvolution：微分进化算法；GaussianSimulatedAnnealing：高斯模拟退火算法；MirrorGaussianSimulatedAnnealing：镜像高斯模拟退火算法；LogNormalSimulatedAnnealing：对数高斯模拟退火算法。
EndCriteria
最优化计算通常是一个迭代过程，我们需要定义一个终止条件以引导最优化计算结束，否则可能一直计算下去。终止条件由 EndCriteria 类参数化，其构造函数如下
EndCriteria(maxIteration,
maxStationaryStateIterations,
rootEpsilon,
functionEpsilon,
gradientNormEpsilon)
maxIteration：整数，最大迭代次数；maxStationaryStateIterations：整数，稳定点（函数值和根同时稳定）的最大迭代次数；rootEpsilon：浮点数，当前根与最新根的绝对差小于rootEpsilon时停止计算；functionEpsilon：浮点数，当前函数值与最新函数值的绝对差小于functionEpsilon时停止计算；gradientNormEpsilon：浮点数，当前梯度与最新梯度差的范数小于gradientNormEpsilon时停止计算；
注意，对于每种优化器来讲，并不是所有参数多是必须的。
示例
Rosenbrock 问题
我们以 Rosenbrock 函数（也简称为香蕉函数）为例测试优化器，这是一个经典的优化问题。函数定义如下：
\[f(x,y) = (1-x)^2 + 100(y-x^2)^2
\]
最小值点落在 \((x,y)=(1, 1)\)，此时的函数值 \(f(x,y)=0\)。
首先定义 Rosenbrock 函数，注意，每个参数是独立的浮点数。
def RosenBrockFunction(x0, x1):
res = (1 - x0) * (1 - x0) + 100.0 * (x1 - x0 * x0) * (x1 - x0 * x0)
return res
接着，配置优化器，并测试 Simplex 和 ConjugateGradient 算法。初始值设定为 \((x, y) = (0.1, 0.1)\)，最优化类型为“无约束”的。
例子 1
def testOptimizer1():
maxIterations = 1000
minStatIterations = 100
rootEpsilon = 1e-8
functionEpsilon = 1e-9
gradientNormEpsilon = 1e-5
myEndCrit = ql.EndCriteria(
maxIterations,
minStatIterations,
rootEpsilon,
functionEpsilon,
gradientNormEpsilon)
constraint = ql.NoConstraint()
solver1 = ql.Simplex(0.1)
solver2 = ql.ConjugateGradient()
minimize = ql.Optimizer()
min1 = minimize.solve(
function=RosenBrockFunction,
c=constraint,
m=solver1,
e=myEndCrit,
iv=ql.Array(2, 0.1))
min2 = minimize.solve(
function=RosenBrockFunction,
c=constraint,
m=solver2,
e=myEndCrit,
iv=ql.Array(2, 0.1))
print('{0:<30}{1}'.format('Root Simplex', min1))
print('{0:<30}{1}'.format('Root ConjugateGradient', min2))
print('{0:<40}{1}'.format(
'Min F Value Simplex',
RosenBrockFunction(min1[0], min1[1])))
print('{0:<40}{1}'.format(
'Min F Value ConjugateGradient',
RosenBrockFunction(min2[0], min2[1])))
testOptimizer1()
Root Simplex [ 1; 1 ]
Root ConjugateGradient [ 0.998904; 0.995025 ]
Min F Value Simplex 2.929205541302239e-17
Min F Value ConjugateGradient 0.0007764961476745887
校准问题
下面虚拟一个模型校准问题。假设已知 4 个看涨期权的价格 \(C_1 , C_2 , C_3 , C_4\)，以及对应的敲定价 \(K_i\)，未知量是股票价格 \(S_0\) 和波动率 \(\sigma\)，通过解决下面的最小二乘问题来求解出 \((\sigma, S_0)\)，
\[f(\sigma, S_0) = \sum_{i=1}^4 (C(K_i, \sigma, S_0) - C_i)^2
\]
首先定义损失函数（函数对象），
class CallProblemFunction(object):
def __init__(self,
rd, rf, tau, phi,
K1, K2, K3, K4,
C1, C2, C3, C4):
self.rd_ = rd
self.rf_ = rf
self.tau_ = tau
self.phi_ = phi
self.K1_ = K1
self.K2_ = K2
self.K3_ = K3
self.K4_ = K4
self.C1_ = C1
self.C2_ = C2
self.C3_ = C3
self.C4_ = C4
@staticmethod
def blackScholesPrice(spot, strike,
rd, rf,
vol, tau,
phi):
domDf = scipy.exp(-rd * tau)
forDf = scipy.exp(-rf * tau)
fwd = spot * forDf / domDf
stdDev = vol * scipy.sqrt(tau)
dp = (scipy.log(fwd / strike) + 0.5 * stdDev * stdDev) / stdDev
dm = (scipy.log(fwd / strike) - 0.5 * stdDev * stdDev) / stdDev
res = phi * domDf * (fwd * norm.cdf(phi * dp) - strike * norm.cdf(phi * dm))
return res
def values(self,
x0,
x1):
res = ql.Array(4)
res[0] = self.blackScholesPrice(
x0, self.K1_, self.rd_, self.rf_, x1, self.tau_, self.phi_) - self.C1_
res[1] = self.blackScholesPrice(
x0, self.K2_, self.rd_, self.rf_, x1, self.tau_, self.phi_) - self.C2_
res[2] = self.blackScholesPrice(
x0, self.K3_, self.rd_, self.rf_, x1, self.tau_, self.phi_) - self.C3_
res[3] = self.blackScholesPrice(
x0, self.K4_, self.rd_, self.rf_, x1, self.tau_, self.phi_) - self.C4_
return res
def __call__(self,
x0,
x1):
tmpRes = self.values(x0, x1)
res = tmpRes[0] * tmpRes[0]
res += tmpRes[1] * tmpRes[1]
res += tmpRes[2] * tmpRes[2]
res += tmpRes[3] * tmpRes[3]
return res
例子 2
def testOptimizer2():
spot = 98.51
vol = 0.134
K1 = 87.0
K2 = 96.0
K3 = 103.0
K4 = 110.0
rd = 0.002
rf = 0.01
phi = 1
tau = 0.6
C1 = CallProblemFunction.blackScholesPrice(
spot, K1, rd, rf, vol, tau, phi)
C2 = CallProblemFunction.blackScholesPrice(
spot, K2, rd, rf, vol, tau, phi)
C3 = CallProblemFunction.blackScholesPrice(
spot, K3, rd, rf, vol, tau, phi)
C4 = CallProblemFunction.blackScholesPrice(
spot, K4, rd, rf, vol, tau, phi)
optFunc = CallProblemFunction(
rd, rf, tau, phi, K1, K2, K3, K4, C1, C2, C3, C4)
maxIterations = 1000
minStatIterations = 100
rootEpsilon = 1e-5
functionEpsilon = 1e-5
gradientNormEpsilon = 1e-5
myEndCrit = ql.EndCriteria(
maxIterations,
minStatIterations,
rootEpsilon,
functionEpsilon,
gradientNormEpsilon)
startVal = ql.Array(2)
startVal[0] = 80.0
startVal[1] = 0.20
constraint = ql.NoConstraint()
solver = ql.BFGS()
minimize = ql.Optimizer()
min1 = minimize.solve(
function=optFunc,
c=constraint,
m=solver,
e=myEndCrit,
iv=startVal)
print('Root', min1)
print('Min Function Value', optFunc(min1[0], min1[1]))
Root [ 98.51; 0.134 ]
Min Function Value 5.979965971506814e-22
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