QuantLib 金融计算——数学工具之求解器
如果未做特别说明，文中的程序都是 Python3 代码。
QuantLib 金融计算——数学工具之求解器
载入模块
import QuantLib as ql
import scipy
from scipy.stats import norm
print(ql.__version__)
1.12
概述
QuantLib 提供了多种类型的一维求解器，用以求解单参数函数的根，
\[f(x)=0
\]
其中 \(f : R \to R\) 是实数域上的函数。
QuantLib 提供的求解器类型有：
BrentBisectionSecantRidderNewton（要求提供成员函数derivative，计算导数）FalsePosition
这些求解器的构造函数均为默认构造函数，不接受参数。例如，Brent 求解器实例的构造语句为 mySolv = Brent()。
调用方式
求解器的成员函数 solve 有两种调用方式：
solve(f,
accuracy,
guess,
step)
solve(f,
accuracy,
guess,
xMin,
xMax)
f：单参数函数或函数对象，返回值为一个浮点数。accuracy：浮点数，表示求解精度 \(\epsilon\)，用于停止计算。假设 \(x_i\) 是根的准确解，- 当 \(|f(x)| < \epsilon\)；
- 或 \(|x - x_i| < \epsilon\) 时停止计算。
guess：浮点数，对根的初始猜测值。step：浮点数，在第一种调用方式中，没有限定根的区间范围，算法需要自己搜索，确定一个范围。step规定了搜索算法的步长。xMin、xMax：浮点数，左右区间范围
根求解器在量化金融中最经典的应用是求解隐含波动率。给定期权价格 \(p\) 以及其他参数 \(S_0\)、\(K\)、\(r_d\)、\(r_f\)、\(\tau\)，我们要计算波动率 \(\sigma\)，满足
\[f(\sigma) = \mathrm{blackScholesPrice}(S_0 , K, r_d , r_f , \sigma , \tau, \phi) - p = 0
\]
其中 Black-Scholes 函数中 \(\phi = 1\) 代表看涨期权；\(\phi = −1\) 代表看跌期权。
非 Newton 算法（不需要导数）
下面的例子显示了如何加一个多参数函数包装为一个单参数函数，并使用 QuantLib 求解器计算隐含波动率。
例子 1
# Black-Scholes 函数
def blackScholesPrice(spot,
strike,
rd,
rf,
vol,
tau,
phi):
domDf = scipy.exp(-rd * tau)
forDf = scipy.exp(-rf * tau)
fwd = spot * forDf / domDf
stdDev = vol * scipy.sqrt(tau)
dp = (scipy.log(fwd / strike) + 0.5 * stdDev * stdDev) / stdDev
dm = (scipy.log(fwd / strike) - 0.5 * stdDev * stdDev) / stdDev
res = phi * domDf * (fwd * norm.cdf(phi * dp) - strike * norm.cdf(phi * dm))
return res
# 包装函数
def impliedVolProblem(spot,
strike,
rd,
rf,
tau,
phi,
price):
def inner_func(v):
return blackScholesPrice(spot, strike, rd, rf, v, tau, phi) - price
return inner_func
def testSolver1():
# setup of market parameters
spot = 100.0
strike = 110.0
rd = 0.002
rf = 0.01
tau = 0.5
phi = 1
vol = 0.1423
# calculate corresponding Black Scholes price
price = blackScholesPrice(spot, strike, rd, rf, vol, tau, phi)
# setup a solver
mySolv1 = ql.Bisection()
mySolv2 = ql.Brent()
mySolv3 = ql.Ridder()
accuracy = 0.00001
guess = 0.25
min = 0.0
max = 1.0
myVolFunc = impliedVolProblem(spot, strike, rd, rf, tau, phi, price)
res1 = mySolv1.solve(myVolFunc, accuracy, guess, min, max)
res2 = mySolv2.solve(myVolFunc, accuracy, guess, min, max)
res3 = mySolv3.solve(myVolFunc, accuracy, guess, min, max)
print('{0:<35}{1}'.format('Input Volatility:', vol))
print('{0:<35}{1}'.format('Implied Volatility Bisection:', res1))
print('{0:<35}{1}'.format('Implied Volatility Brent:', res2))
print('{0:<35}{1}'.format('Implied Volatility Ridder:', res3))
testSolver1()
# Input Volatility: 0.1423
# Implied Volatility Bisection: 0.14229583740234375
# Implied Volatility Brent: 0.14230199334812577
# Implied Volatility Ridder: 0.1422999996313447
Newton 算法（需要导数）
Newton 算法要求为根求解器提供 \(f(\sigma)\) 的导数 \(\frac{\partial f}{\partial \sigma}\)（即 vega）。下面的例子显示了如何将导数添加进求解隐含波动率的过程。为此我们需要一个类，一方面提供作为一个函数对象，另一方面要提供成员函数 derivative。
例子 2
class BlackScholesClass:
def __init__(self,
spot,
strike,
rd,
rf,
tau,
phi,
price):
self.spot_ = spot
self.strike_ = strike
self.rd_ = rd
self.rf_ = rf
self.phi_ = phi
self.tau_ = tau
self.price_ = price
self.sqrtTau_ = scipy.sqrt(tau)
self.d_ = norm
self.domDf_ = scipy.exp(-self.rd_ * self.tau_)
self.forDf_ = scipy.exp(-self.rf_ * self.tau_)
self.fwd_ = self.spot_ * self.forDf_ / self.domDf_
self.logFwd_ = scipy.log(self.fwd_ / self.strike_)
def blackScholesPrice(self,
spot,
strike,
rd,
rf,
vol,
tau,
phi):
domDf = scipy.exp(-rd * tau)
forDf = scipy.exp(-rf * tau)
fwd = spot * forDf / domDf
stdDev = vol * scipy.sqrt(tau)
dp = (scipy.log(fwd / strike) + 0.5 * stdDev * stdDev) / stdDev
dm = (scipy.log(fwd / strike) - 0.5 * stdDev * stdDev) / stdDev
res = phi * domDf * (fwd * norm.cdf(phi * dp) - strike * norm.cdf(phi * dm))
return res
def impliedVolProblem(self,
spot,
strike,
rd,
rf,
vol,
tau,
phi,
price):
return self.blackScholesPrice(
spot, strike, rd, rf, vol, tau, phi) - price
def __call__(self,
x):
return self.impliedVolProblem(
self.spot_, self.strike_, self.rd_, self.rf_,
x,
self.tau_, self.phi_, self.price_)
def derivative(self,
x):
# vega
stdDev = x * self.sqrtTau_
dp = (self.logFwd_ + 0.5 * stdDev * stdDev) / stdDev
return self.spot_ * self.forDf_ * self.d_.pdf(dp) * self.sqrtTau_
def testSolver2():
# setup of market parameters
spot = 100.0
strike = 110.0
rd = 0.002
rf = 0.01
tau = 0.5
phi = 1
vol = 0.1423
# calculate corresponding Black Scholes price
price = blackScholesPrice(
spot, strike, rd, rf, vol, tau, phi)
solvProblem = BlackScholesClass(
spot, strike, rd, rf, tau, phi, price)
mySolv = ql.Newton()
accuracy = 0.00001
guess = 0.10
step = 0.001
res = mySolv.solve(
solvProblem, accuracy, guess, step)
print('{0:<20}{1}'.format('Input Volatility:', vol))
print('{0:<20}{1}'.format('Implied Volatility:', res))
testSolver2()
# Input Volatility: 0.1423
# Implied Volatility: 0.14230000000000048
导数的使用明显提高了精度。
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