【转载】数学学习的心理——关于数学中的挫败的反思及若干启示
数学学习的心理——关于数学中的挫败的反思及若干启示
抽象数学研究的历史启示
数学体系发展至今，根深叶茂，枝盛果繁，其盘根错节之复杂已至于经无法对其给出确切定义的境地。这无疑成为了数学学习沟通、交流、继承的最重大问题，事实表明，自庞加莱谢世以后，这种局面至今已经完全实现并有愈演愈烈的趋势。随即引发对一个问题的思考：我们是否会因此而无法把握数学之全局？希尔伯特所谓的“我们必须知道，我们一定能够知道”的豪言究竟要如何落实？
从三次数学危机以后分裂为三大流派的历史事实来看，数学从传统的悖论驱动、问题驱动逐渐发展到本质驱动。逻辑学的渊源是沿袭一直以来悖论危机的惯性动力。形式主义的渊源是源自欧式几何、非欧几何以来的公理化进程。构造主义强调数学对象的可构造，排斥一切无法实际构造的对象的存在性。
逻辑主义学派远承莱布尼兹的衣钵，近承康托尔的伟大思想，致力于数学体系在逻辑归纳体系中的重建。罗素和怀特海的伟大著作《数学原理》昭示了逻辑路径的伟大胜利。逻辑学是数学的少年，数学是逻辑学的青壮年。这种伟大的思想直接揭示了数学探索的全部心理本质，尤其重要的是，这一论断明确地把数学作为逻辑学的本体而非分支，由此明确地承认了逻辑学是“发展着的学科”，广义逻辑方法则是数学的本质核心。
其次看形式主义的思想，形式主义其实可以说是抽象层面的构造主义，但凡形式，或必有其形，或必其式。一般来说，形是原始存在的式，式则是抽象以后的形。希尔伯特的思想可谓远承欧几里德、罗巴切夫斯基，近承黎曼，认为形式是自然的语言，自然则是公理的示现。换句话说，形式主义可以简单地理解为“但凡可知的必可表达；但凡可表达必可推演；但凡可推演必可有限步骤”，所谓“有限步骤”实际上是对“公理”的存在性的另类表达——因为命题自身本征逻辑的有限性，因此所需论证的子命题数量有限；因为公理本身数量的有限性，则子命题所须引注的基础定理也有限。可以说，然而从哥德尔不完全定理可知由于自指证明的悖论导致了任意系统的不完备，不完备定理直接导致了形式主义沦入了“徒具其形”的黑洞（即仅仅立足于形式上的自洽），而逐渐背离了希尔伯特的本来意图——形式是逻辑的语言，纯粹形式必须以广义逻辑公理为其本质。但同时，形式的绝对化也极大程度地对传统狭义逻辑观念产生了冲击——究竟什么是逻辑判决的依据，即什么样的逻辑是可信的，逻辑究竟应该服从什么样的规律。事实上，不完备定理不光是导致了，事实上还揭示了公理化系统探索的极限所在——也就是说，如果公理体系除自指证实盲区以外，对既有，便就。由此可知我们可以充分的地理解，所谓“严格证明”的内涵——“严”即严密推导，“格”即基于公理化归纳逻辑体系的纯粹形式。由此可知，逻辑的缜密依托于严谨的传递，严谨的传递则依托于严格的形式。而所谓“严格证明”只是一种暂时的可信证明（所谓“可信”翻译过来即是“在当前尚能完全解释已知逻辑的公理化假说逻辑体系内的纯粹形式推演结果”），并非终极意义上之绝对正确。可以说，在不完备定理与形式主义共同构成了数学行为自明性的基础。
再来看构造主义，构造主义远承卡丹、牛顿、欧拉的几何思想，近承高斯、加罗瓦的解释构造方法，对逻辑主义同样产生了很大的冲击（典型如罗素悖论；又如 Tarski 球，一个球按某方案分解后可以重构出 2 个同样的球），实际上在经历了分析体系严格化历程以后，数理逻辑基础只是步入了一个暂时稳定的期间。可以说，从表面上看，构造主义是逻辑主义的最大对立面，也是逻辑主义最有益的补充。构造主义的本质实际上是深度的解释主义，以深度的解释主义以求得组合思维的解放（譬如用良序集概念归纳自然数集合），并由此构筑起基于基本元素的综合抽象理论（例如实变泛函）用以指导构造。
由此可知，形式主义其实是逻辑主义的方面。构造主义则是逻辑主义的惯例。实际上，从某种意义上讲，构造主义还是形式主义的一个分支，因为构造主义所强调的“可构造”实际上是旨在得到一种显式形式，也就是说构造主义实际上是以“逻辑需求在形式上的综合”为其中心立足的。换言之，只要无法找到与其他逻辑找到综合方案的概念（数学体系中的任何概念要想与其他概念自洽，就必须明确其与其他概念之间的综合关系，换言之，任意在数域中引入的要素都必须明确其基本运算法则）就无从获得成立（即无法在以既有数理逻辑体系为参照的逻辑空间内存在）的理由——这就意味着如果非要兼容该该概念，则必须重构当前体系的数理基础。也就是说，必须诉诸寻求能够兼容当前体系和引入要素的本体概念作为新基础。
对数学学习的心理体验及启示
数学学习本身必须具备充分的直观性，构造主义提示我们，在数学的数、形乃至各种形式转化的过程之间，用以支配行为导向的是最基本逻辑单元其实是类比与拟合，拟合的内涵是组合与嵌套，由此可以得到构造的指导流程如下：
- 目标：模糊属性逻辑信息——具体对象
具体对象无外乎函数（只要定义出运动方式，几何体也可以通过解析函数的交集来描述），因此问题转化为“模糊属性逻辑——函数”，
- 步骤一：模糊属性逻辑 \(\to\) 函数表面关系需求交集
该步骤即完成模糊属性逻辑的直接转化，任意函数都是一个映射，而任意映射都是一种对应关系。既然最终要得到函数，最直观的想法是完全有理由诉诸于直接的途径获取函数的表面关系需求信息。
比照我们日常的逆向推理，我们往往针对我们的目标所需的必要条件试图寻找获得它们的最直接的逻辑路径。同时，当我们在既有的要素范围内无从获得方案时，往往会突破当前的集合范围前提，扩大范围，引入其他因素以实现整合式探索。可以说，这是引导我们的逻辑推理前行的两大驱动。
要把所有的模糊属性逻辑放在一起处理是极其复杂的，可以利用集合容斥原理对所得到的函数表面关系需求信息进行选择。这里最为困难的是函数表面关系的推演。因为如果仅仅推导出作为必要条件的需求信息，那么这些信息必须求并集才能覆盖全部的模糊属性逻辑。而只有推导出作为充分条件的需求信息，集合元素的数量才能尽可能压缩，才能为下一步构造函数提供更充分的自由空间。
- 步骤二：表面需求信息交集 \(\to\) 点区间映射划分方案
根据实变函数的定理和泛函理论，通过猜想和论证，我们尽可能将得到的抽象信息集合向具备蕴含更多几何直观信息的方向传递转化。
既然是为了获取几何直观信息，那么为什么要在这里采用“点区间映射划分方案”这一提法呢？因为这才是本阶段获取几何直观信息的全部目的归宿。有了这个才知道函数内部的粗略结构
- 步骤三：点区间映射划分方案 \(\to\) 根据函数理论、泛函理论归纳抽象属性原因集合
回归到抽象属性原因集合实际上是对上一步骤获得的几何直观信息集合的进一步严格化规约和确认，同时数学推导必须严格等价，也是为了解决最终求解信息的充分性问题和解集的有限性问题，有必要对函数的信息做进一步外推。
- 步骤四：属性原因集合 \(\to\) 反向生成函数
函数方程实际上是构造的最后一个环节。结合属性原因列举方程，求解或回归目标函数。
从外观到内蕴——对低维向高维空间拓展的数学心理
“何以识其类？”是类比过程中最根本的问题。比照线性代数中的向量维度，其实几何问题代数化实际上是一种形式结构的转换，由此相应带来的是形式视觉心理的变换。高维空间的延拓在直观上的想象是极其不易的，我们之所以无法建立自己在高维空间的视角，实际上是因为我们生存的环境本身，因此我们只有将高维空间做降维压缩以后才能帮助我们稍微理解高维向量的概念。但若将几何的关系表为代数形式，则延拓很容易在形式上得到证明——直接的原因是，运算符号的增加并不构成我们的内在思维视觉角度的困难。维度的增加在运算符号的反映于我们心理上的暗示意义是“加缀”而并非“延展”，问题的关键在于，我们如何确认低维空间代数形式上示现的“同构”是几何结构的本征？
从上述的视觉心理的变换不难察觉，这实际上是在几何结构系统与代数符号系统之间的一个关系映射。由此，高维空间的认知角度就从传统的“外观”转为“内蕴”（传统上我们都习惯处身于高维空间内观察低维空间，那么我们所观察到的性质往往是低维空间的外在性质，是一种沿袭着“解构——演绎”角度的认知结果；如果我们立足于低维空间来研究高维空间，由于无法开展直观的可视化分析，是沿袭着一种“结构——分析”角度的认知结果）。也就是说，我们处在一个高维空间的子空间里，同样也可以认识到高维空间的性质，之所以能够这么做的根本原因，是因为符号表示归纳了几何基本元的全部信息。换言之，我们在高维子空间里观察的性质一定蕴含了普遍空间的本征信息，由此可以联想到抽象代数中“同构”、“同态”的定义。不难证明映射在二维、三维空间内为“同构”，那么根据算子的代数形式规律则可以顺利地延拓算子作用在高维空间中单元函数上的代数形式，从而利用同构映射的概念反推出高维空间的同构规律。换言之，把低维规律向高维空间延拓的本质依据是“同构”。维数增加所造成的
由此可以确认，数形结合实际上是一种匹配我们认知心理惯性的问题处理手段。数、形之间通过形式结构的转化（数的形式结构单元是符号及集合空间，），形成了结构关系映射，相对基于“具体——特例”（几何向代数转换则“视觉具体—函数特例”，代数向几何转换则“函数具体——几何特例”）的数形结合初级阶段，这种基于“结构—映射”是数形结合的高阶阶段。
对偶、对称思想在延拓中的驱动作用
数学证明成立的充分条件是“严谨”。对此的理解可以分为 2 个层次：一种是逻辑直觉意义上的严谨，这个层面的逻辑依赖于数理逻辑符号的推演，所面临的要解决的中心问题是相容性问题。其次就是形式意义上的严谨，即所谓形式逻辑必须严格，即在形式逻辑系统内部必须是一致的。
相容性问题的直接原因是悖论，为了协调悖论，同时为了兼容既有的理论成果，最直接的解决方案是引入新的概念、理论与方法——这种引入既不是自娱自乐的无中生有，也不是漫无边际的无病呻吟，而是一种新的观念视角以及由此衍生出的理论体系。悖论中最为常见也最为典型的有 2 种：一种是出现了无法自圆其说的情况（这最符合悖论的字面含义）；另一种是由于形式逻辑系统的局限性所造成的解释缺陷。后者长期为人所熟悉但却很少作为悖论为人所认识——事实上，当数学被作为自然的语言和模式的科学来定位时，这种情况就在事实上完全获得了悖论的存在方式。
以实无穷概念为例，这个概念时至今日仍有争议，其逻辑渊源值得一再探讨。试图思考这样的问题：高斯至死不承认实无穷，何以康托尔对实无穷概念的信念能够从一而终，坚持到底？罗素悖论看上去朴素直观，但何以康托尔竟似从未察觉到？归根结底，恐怕是在逻辑直觉意义上的严谨认知存在根本分歧。高斯反对实无穷的理由实际上源于他折衷主义的事物观，即在高斯的思想里，抽象概念必须是形而下逻辑经验或惯例的归宿，也就是说逻辑概念的建立必须以“实有其事”作为检验标准。康托尔的观念里实际上有 2 个前提：
- 一切逻辑外观的事物均可找到归纳它的抽象本体；
- 任意抽象本体均要符合普遍算子规则，算子一致性其实可以分为 2 类：一是收敛，二是发散，算子收敛的充要条件为“结果可确”，所谓发散，实际上是在数域的值性质上无一致性，具体可表现为无方向性（如交错发散），无界性（持续增大）。
于是就要问，这种思想观念差异的根源何在？观念的差异根源实际上仍在于对概念的本体根据的看法不同。浅白地说，观念决定角度，实际上，观念的立足本身也是一种角度，这在根本上决定了观念的格局。由此我们也可以得到一个启发：数学研究的不断变换角度实际上是一个不断扩大归纳容量的过程，各个立足角度之间的兼容程度其实都只能覆盖本体的局部，角度之间的过渡会不断地扩大覆盖的范畴。
数域的延拓是协调第二种悖论的直接方案。从自然数扩展到分数，是立足于乘法逆运算（除法）的拓展。由分数得到小数（分形数），是立足于十进制进位逆运算的拓展，是自然数到分数扩展的进一步延伸。从正数到负数，是立足于加法逆运算的拓展，从有理数到无理数，是立足于幂运算（尽管幂运算的本质是乘法，但在概念独立区别于一般乘法）及化圆为方的逆运算（pi的出现源于“以方求圆”）的拓展。幂运算还直接驱动了从实数到虚数的拓展。由此可见，数域拓展的内在原因其实是“解释”。解释成立的依据则是计算规则上的自洽，即依从运算的基本映射法则（对于任意数，在正运算算子作用下，扩展数（所谓“逆运算结果”）与狭义数的集合映照恒等于狭义数与单位圆的集合映照，即“数对自己的映照”），同时，数域拓展的直接动力是“对称”，是对运算盲区的突破。更重要的是，数域的拓展不是自娱自乐，究其思想本质也不是现实需要的产物（现实需要只是导致其被发现的缘起），而是由“作为解释逻辑的基本元——数的本质”的认知需求驱动的。本质的外观是形态，因此可以存在研究数论的不同角度（分形的角度，如小数；分类的角度，如超越数和代数数）
从有穷到无穷，其实是立足于突破“有穷域内算子结果为单一数值”这一传统，无穷与有穷之间存在对偶性质：有穷数可确为一个“点”或“分割”，而无穷则确为一个存在若干外在数值公共性质之集合。算子作用下，有穷数值运算结果为一个数值，而无穷之可确运算结果则为一个集合。无穷集合的出现直接扩展了“0”的内涵（此前，0 仅作为一个于实与虚之间的符号整数存在，其引入的直接目的是便于计算，其数值性质只到了“无穷小量”出现时才引起关注），并改变了传统的精确数学的思维观念，改变了传统数学的理论基础——即数学运算结果可唯一确定，并不代表计算的产物必然唯一，必须将产物的极限视作数学计算结果的本质，即将0赋予“无穷小”内涵，才能圆融地解释无穷小量和数学计算结果之间存在的矛盾。
“事物”逻辑认知观念的若干启示
逻辑是包括观察范围内对象要素及相关相互作用关系在内的表达。辩证法。传统上理解的“事物”，事为物内逻辑，物乃事理的实现。进一步推理：“事物”也分称为“物事”、“军事”、“政事”、“人事”，则前者为对象定语，后者为主语成分，由此可见“事”其实是物的全部本质。进而可知实际上“事”的全部本质内涵就是逻辑。
反观我们的数学概念，其实都不外乎一种“事”，所谓“事物”，其实可以理解为古代儒家经典所谓的“必有所事焉”，也就是说我们认识“物”的方式总是以“事”为基本线索的。由此可知，假设事物为可知（或者至少存在可知的部分），则可知事物必然服从“事外无它物”的规律，换言之，也就是物不外乎事，这就给予我们以极大的启发：要想获得科学而自由的数学观念，重新审视我们传统的指称观念和关系逻辑观念是首要的。
不难发现，我们对中文称谓语法里词性定义的认知其实不自觉地固化了我们的观念，我们总是习惯认为一切事情都必须围绕“物”为中心开展讨论，而这个“物”必须是名词指代（可以是现实名词，也可以是抽象名词）而不是一个任意的抽象综合逻辑对象，而事实上，物的指代在英文语法逻辑中的体现则要宽容得多，英文将名词按“格”划分（譬如主格、宾格、物主格、动名词格）、将谓语按“时”、“态”划分（譬如现在进行时，过去进行时，过去现在进行时）的背后是一种映射思想。这与中文中不分时态的语法逻辑形式形成鲜明对比。
由此可见，英语的语法组织指导思想与中文有所不同：
中文的“称”与“谓”在逻辑上是极其宽泛的，因此一种具象的称谓往往被广泛地应用于极其广泛乃至抽象的表达场合，这么做的根据是中文旨在“意会”的内在逻辑禀赋（例如得体、实用、性质），而于关系（这里的关系是广义的关系，既可以是本体和外用的关系，也可以是任意事物之间的任意相互作用）的“形容”上才极其贴切，这种贴切的心理体验实际上也是基于“意态”的譬喻的——即具体现象向抽象意义作感觉象征式引申的（譬如高明、凉薄、端倪，由此可以理解中文含蓄之意）。也有人把这种譬喻描述为“类比”，其实这并不完全准确，准确地说，譬喻只是类比的一种形式，但仍可窥见所谓“类比”的“类”实际上指的是“抽象逻辑关系”，即表面关系背后的逻辑模式。所谓“比”实际上是一种移借式的引申。之所以会存在这种现象，与中文的语言心理的历史息息相关。也就是说，无论是宽泛的还是贴切的，中文都将“表意”作为表达的立足中心（表达的本质任务是“达义”），
而英文的“称”与“谓”的格律是极其精确的（其实中文诗词中的格律要求也极其严格，填词颇有似于构造函数），而在关系形容方面则要模糊得多，有别于旨在意会的形容，英文的引申逻辑近乎“形象”（譬如 re-search 之于研究，ex-traction 之于血统，university 之于大学）：语言必先明确其称谓时态背景，前者的精确反映西方分析思维特点，也就是说，分析的宗旨是明确事物的态性；关系之形容必以视觉象征。而后者的粗疏则反映西方归纳思维的特点，即西方的归纳表达也是基于对象方面特征模式的同比（譬如 extraction，“血统”与“提炼”在原始体和自体的内涵继承上均有相同含义；又譬如 research，研究探索和反复搜索在锁定目标过程的行为表现上有相同含义），而在构词设计过程中，针对对不同方面的特征模式，其选择原则的逻辑必须保证其相对其他词汇的唯一区别性，即所选择的方面特征模式必须是该词汇的区别性本征。
由此可知，语言系统其实也完全可以采取如数学逻辑系统的建构原则——语言的复杂词汇通过简单词汇组合而成，。意识中的事物完全可以较之现实中的事物广义得多。事既可以作为一般意义上的“物”的属性逻辑，其本身也完全可以成其为对象意义上的“物”，同理也可以推出“事”的属性逻辑。以欧拉公式为例，将视作，则不难得到的导数；于是通过构造微分方程就不难证明，我们对方程的习惯认知是“事”，而通过“事”的对象化就解决了。尽管这并非唯一的论证角度，但对拓宽论证的思路观念是很有好处。
数学中的典型概念演变
关于数学学习中的挫败的反思
俗话说的好：失败乃成功之母。这句话在实际科研的过程中简单地理解为一种不畏科研高峰艰险的豪情与勇气。在传统的官方作品中，科学家形象总是被习惯性赋予了政治家的豪情和艺术家的怪癖。事实上，失败乃成功之母，但文学作品总是立足于“不谬”的实证角度，却无助于在学生心理上形成“诚哉斯言”的反响。失败乃成功之母明确地提示了失败对探索成功路向的重要提示、启发意义。
有一种广泛而根深蒂固的观念：即认为数学是计算、演算的学问。应该说，这种观念是导致数学学习疲倦感和恐惧感的根本障碍。事实证明，人的计算能力、记忆能力其实并不比动物优胜（考究鸽子、马的识途即可知此言不虚），而在想象力和抽象概念能力方面则为万灵之长。如果认为数学是一种神秘的计算技术，那么所谓“算术”就很容易在普遍心理上沦为一种类似星相占卜的不可知论，导致这种现象的重要原因是对失败原因缺乏实质性的心理把握，即对失败的根本原因并未在达至“因明”。仅举数例如下：
- 从计算的抵牾表面来看，是实际计算不合数理导致了计算的谬误和推演的抵牾。我们习惯上的直接反应是觉得“猜错了”，进而认为我们应该重新猜测，这种观念在于把计算和概念认知本身形成割裂，事实上，计算是推理构造的工具，也就是推理内核的一种外在作用，之所以对应计算存在诸多的技巧和方案，其本质都是计算背后的概念的支配结果。由此可知，算法的本质依赖不在于形式而在于概念关系本体的证明。
- 从几何的论证上看，我们总觉得是论证的角度出现了问题导致了演绎的寸步难行。我们习惯上也认为这种角度“行不通”，进而在心理上形成谬误的印象，但事实上，几何推演是一种条件组合的过程，条件组合以后并未构成足以揭示关系本体的信息并不意味着条件组合本身的谬误，只能说明组合于论证目的的不恰当性。
事实上，数学是概念的产物。数学论证的简洁实际上是建立在的心理基础之上的。从戴德金关于“数的是一种分割”的定义来看，这种形而上的定义似乎很难为人所接受。那么究竟是什么造成了我们心理上的郁结呢？比对如下：
- “分割”是一个动作指代，如何能够成为“数”这个名词的本质呢？
- 作为“分割”存在的数，何以能够证实它本身与此前一切的基本数值性质就是相容的？
这便涉及到上述的“事物”观念。针对问题（1），试读这句话，The nature of real-number Is kind of Division（动名词）.理解起来就要自然、容易一些。针对问题（2），“分割”仅仅强调了数之间的位置区别性（即建立数的疏朗性）而并无其余信息之附加，尽管如此，分析体系构建过程中所谓“相容”从本质上讲是暂时的，是“目前尚未发现不相容”前提下的相容。
对几何论证的困境的思考
由此我们可以回顾一个重要的观点：即我们并未看见几何图形，我们所获得的只是对几何图形本身的视角。这个观点具有重要的启示意义。也就是说我们在实际论证几何图形的过程中也忽略了很多信息。尽管我们自身似乎并不容易觉察到这一点，但确是事实，论证的推演实际上是以论证的逻辑对象为中心的探索，而几何图形则是其中一切逻辑的整合。这也就提示了一个重要的信息：所谓证明，实际上是以若干视角（即该对象的部分关系信息或内蕴信息）为分析对象的中心角度，这些视角之所以能够作为依据，是由于视角本身来源于几何对象本身，即视角的作用本身与几何对象的构造外观完全吻合的，也就是说，观察视角实际上是几何对象的某种内蕴组织模式。
几何论证往往会陷入难以演进的困境，却鲜有人在题目谜底揭开以后对此前的挫败做充分的反思，以探明自失败通向成功的逻辑路径。这种买椟还珠的行为是极其令人遗憾的。从困难的直接表面来看，是由于几何论证推进到了信息不足的环节。一般对此的直接理解是几何论证的角度即视角出现了问题。进而令人不禁怀疑几何的认知是否存在某种神秘的密钥，必须严格沿袭这个唯一的路径才能揭开论证的谜底。应该清楚地看到，论证路径是否唯一其实是不绝对的，或者说，在终极意义上讲，我们至少应该相信论证路径肯定不止于一种。这信心来自于对，而从现实的角度上讲，值得乐观的是，重要我们存在足够的耐心，至少我们能够找出但从困难的根本性质上讲，但事实上是几何论证的策略出现了问题。视角本身是无误的（只要推演符合数理逻辑），但关系的组织逻辑本身却未必尽如猜想——或者关键的中间环节逻辑根本不如解题者所以为的，或者逻辑的传递并不具备足够的裕度：打个比方，譬若我们走在一个迷宫的死角里，迷宫的死角假若打开了一个口，沿袭我们的思路未尝就不能到达终点，但可惜的是，既然迷宫的设定已然，那么我们的思路，这个时候不能径直认为我们的来路便就是错，而只能说明来路之初无从估计——这里所谓的来路之初是针对站在地面上进入迷宫的人而言的，这就好比我们任意选择了一个观察视角。当然，如果凌空俯瞰了迷宫地图的人，自然是知所适从，无往不利的，因为他的见解建立在了透彻问题的逻辑的组织结构即所谓“模式”的基础上。要想获得针对高度抽象而晦涩的问题的这种能力很不容易，对地面上走迷宫的人而言暂时不可企及。但这不代表地面上的人无从得到进入获得这种能力的途径的机会，关键是在必须经历了多次的进退维谷以后，他才能获得足够多的提示信息，才有可能得以退到合适的位置重新开始。。而更重要的是，迷宫里的人只有充分意识到多次进退维谷背后的逻辑共同点，他才能知道问题背后的“模式”的轮廓，才能有望总结出最简洁的方案来解决问题。
数学简洁性诉求的必要性
为什么数学就必须诉诸简洁性呢？这是数学成其为自然语言的重要原因。科学家相信自然原理先验地排斥逻辑冗余。因为冗余逻辑不符合自然逻辑演化的“步态”原则，也就是说，数学家的观念里，在必要逻辑以外多出的逻辑，其来源是没有根据的。那么就要问，究竟什么是简洁呢？
对“简洁”的直观理解是论证的逻辑很直接，步骤非常少，但事实上，“简洁”的本质含义是要找到一个新的逻辑本体中心。因为一切的简洁就其本质而言，都是逻辑的传递。而事实上，数学的抽象动力并不源于表面的逻辑推演，而源于逻辑归纳和传递方式的需要。之所以要试图找到一个立足的中心本体以简化逻辑传递的模式，实际上正是数学认识论的中心思想。
范数的启示
范数这个东西在初学者看来极其突兀，定义也没有明确的说明。我们先看看范数的定义
设 \(X\) 是实（或复）的线性空间，如果对每个向量，有一个确定的数，记为与之相对应，并且满足
- \(\parallel x \parallel \ge 0, \parallel x \parallel =0 \Leftrightarrow x = 0\)
- \(\parallel a x \parallel = \mid a \mid \parallel x \parallel\)（其中 \(a\) 为任意实复数）
- \(\parallel x+y \parallel \le \parallel x \parallel + \parallel y \parallel,x,y \in X\)
则称 \(\parallel x \parallel\) 为向量 \(x\) 的范数，称 \(X\) 按范数成为线性赋范空间。
从上述的情况来看，范数的性质实际上就是实数域（复数域）的全部几何关系规约，即这里的几何关系规约全部都是“内禀”的（所谓内禀的，即完全由其自身存在而自然赋予，无需另行外赋。之所以认定为内禀的，是因为复数本身就具备这样的属性），而这些内禀属性集合又被认为是与数值空间等价的，之所以认为是等价的，与连续统本身的几何本征有关。那么换言之，范数的性质同样适用于任意维度的数值空间，是以谓之“范”，即数值空间的规范。于是有范数空间，即“规范”的数值空间——换言之，就是等价于连续统数值空间（几何本征关系）的任意维代数空间。范数是几何视角看代数空间的思想产物，先从几何本征角度规范代数，最终还是反过来用代数归纳、描述高维几何。
也就是说，在代数、几何分别独立发展的期间，联系二者的唯一枢纽就是“数值”和“关系”。在解析几何坐标提出以后，几何问题获得了代数化的观察、解决角度。但实际上，从解析几何的向量概念进行导引，线性代数开启了以“空间”为中心视角的解释研究角度，把许多关系性质的研究归结到代数空间上进行解决（典型如矩阵的乘法，空间与空间的相互作用，从狭义向量几何的角度来看是一种结构作用关系，所谓“投影”，从单一向量与单一向量的点积可以理解为“单一向量在单一坐标维度上的作用【理解为狭义物理功是狭隘的，之所以这么说，是由于广义“功”的计算本身只要满足“点积”，而物理功则必须要以量纲为必要条件，所以应理解为“广义功”，即如果一定要进一步剖析解释，理解为在该坐标维度上的梯度的作用效应（即所谓“广义功”）】 效果”，但单一向量与多向量构成的向量空间的点积可以理解为“该向量在某向量空间内的作用综合效果”），那么代数空间的基本抽象运算定义也可以通过在复数空间内的同类运算意义来做类比理解（之所以能够这么做，其背后的原因必须充分说明，否则会令人陷入“何以识其类”的困惑当中。）。由此回顾杰出代数几何学家肖钢先生的名言“代数是一种解释”，信哉斯言。
几何是纯粹的结构，解析几何则是将几何置于纯粹分析的逻辑尺度下的分支。拓朴是对“朴素”的“延拓”，即纯粹的分析学科。结合上述分析再推延开去，便可以窥得一点数学分支发展动力的端倪：几何代数是立足几何结构角度研究代数关系，代数几何则是立足代数综合角度看待几何问题；拓扑代数是立足于纯粹分析角度重新建构代数体系，由此可见，数学的分支发展进入了纯粹形式逻辑的时代，各自均以其所选择的形式逻辑中心对其他分支进行解析、解释和构造。但无论如何，所谓“千里之行，始于足下”，先找到自身关于“结构”关系认知的中心本体，以此为根据对其他体系进行重构都是必须而首要的。
数学技术在演算中的作用及地位
演算在心理上往往以两种形式存在：一是结果计算实现的工具形式；二是，事实上，演算分为分析类的演算（譬若我们计算无穷级数的收敛和）和综合类（譬若我们要归纳机器的动作为矩阵运算）的演算，前一种要靠“技”，后一种要靠“术”。所谓“技”，实际上是一种组合的谋略（譬如我们希望知道，），所谓“术”，则更多的是一种归纳匹配。
回顾我们的演算心理，常常会遭遇这样的尴尬：我们总希望事物、事情如己所想，但计算的结果却很令人沮丧。我们总因为事情不如我们的预期而迅速地放弃原先的构想，但事实上，有一个铁一般的事实我们无法回避：和上述的几何问题一样，我们实际上并不清楚演算失败的真正原因。
事实上，综合演算的场景一般是这样的：根据某些形迹和朦胧的感觉，依稀觉得复杂运算中的基本概念的印象模型实体是 XXX 的，由此得出运算的意义实际上就是 YYY，进而在概念层面设想出一番数值等价关系，由此验证而发现抵牾。这种问题最直接的原因往往是对运算的意义存在似是而非的“以为”，一般的表现是根据运算所呈现出的某些特性与某些物理事件的作用机制相符，即将该运算与所认为的物理事件的相互作用等价起来。这种逻辑不但不是毫无道理，可以说很有意义，实际上是数学作为整体发展的一个重要的逻辑枢纽，但在实际应用中必须充分注意其必要条件。只有在该运算完整地涵盖了物理事件作用的全部内涵，才能保证这种猜想的成立。尽管常有谬误，但这种思想仍旧重要，猜想实际上就是由这种思想驱动的。
分析类的演算的谬误则往往源于“技”的枯竭。技的枯竭源于对概念本质把握的贫乏。尤其是抽象概念，多数的技能枯竭都是由于对抽象概念缺乏实质性把握导致的。要解决这个问题，必须先理解抽象概念的实质性把握机制。抽象概念本体往往是一个极其难以描述的对象，因此这些概念本体的描述在应用中往往是间接的，也就是说这些概念本体在应用场景中总是以这样那样的具体性质的形式存在的。这其中就发生了一个问题，就是说在把握抽象概念的过程中，一般分为如下几种角度：
- 利用抽象概念的必要性质（含性质的组合）即可解决问题
- 必须借助本征性质的简约组合重构抽象概念（即以若干本征性质的组合等价该抽象概念），以匹配实际计算的策略需求
区别于“以有限列举逼近”、“以集总形式归纳”、“以循环形式表达”这三种具象对象的处理方式，抽象概念的处理就是“以必要局部等价全局”的思维。
信息论是用来衡量信息关系传递模式的，不同的求解思路实际上就是不同的信息组合，在逻辑推导的过程中，可以借助基于概率论的信息论来衡量（传统上认为决定论和概率论之间存在绝对边界，但事实上并非如此，当分析数学的基础建构于极限概念之上时，确定性实际上是随机性的收敛极限，因此完全可以借助信息论的推导来提示、引导思想的探索方向，这就为纯粹抽象的严谨无差数学探索和概率性思维实验之间搭建了沟通的桥梁）。
数学中的拟合不仅仅是一种工具，譬如要构造一个未知的满足某些条件的函数，一般有以下几种角度：
- 一是求满足单一条件的集合的交集。
- 二是尽量分析既有惯性思路中存在的可分析盲点，例如构造某点可导但任意邻域不可导的函数，就是利用了实数中无理数、有理数且无理数存在于有理数任意小领域内的特点。
- 三是理解并掌握数学基础单元的特性，将之视为模块化响应函数，通过系统组合设计来进行拟合
数学证明过程中不可避免地会涉及到依靠“所得即所见”（这个依据的最大前提约束是“处身于高维空间观察低维空间”）推导所得的部分。这样的论证总是普遍地存在于中、小学生的。事实上，中小学数学教育的最大盲点在于没有揭示出这个阶段“证明”行为的本质——即这种基于外观的所谓“证明”行为本质上只是一种外观层面上的形式关系演绎。也就是说，分析体系内的关系语法是以集合论中所定义的基本关系为其基础的，更进一步说，一切纯粹分析论证均可回归到基于集合论的关系算子的描述式上。所以要得到纯粹分析意义上的证明，必须首先将视觉直观逻辑全部归纳到分析逻辑中去，由此形成完全基于抽象解释的分析逻辑体系，才能彻底摆脱几何直观对数学论证的干扰。从这个角度上看，就不难理解何以集合论、点论、测度论相继以往，即必须依次实现对基本关系的纯粹形式归纳，典型关系的纯粹形式表达、量度本性解释，才能切入到积分论和泛函空间中去。
一些多余的话
论述说到此处似乎应该告一段落，但事实上弦已停而音犹在，而绕梁之音不去，则必有回荡共鸣之声。我们不难看出，所谓“严谨”，事实上是以形式之“严”保障逻辑之“谨”，我们习惯上认为，严谨的逻辑推理与不严谨的逻辑推理之间是完全互斥的，其实这种观念是数学学习的大碍，蒙特卡罗方法是概率性与确定性之间渐进的思想产物。同理，严谨的逻辑推理与不严谨的逻辑推理之间也并无鸿沟，对于不严谨逻辑而言，严谨逻辑是其内在的作用规律。而对于严谨逻辑而言，不严谨逻辑其实是其分支特征（特例）逻辑的产物。由此启发我们，应用数学中的不完全严密论证其实完全可以作为抽象理论建构的探索性思维实验存在。西方的分析性思维在这里其实是致力于求取思维实验共性的最小逻辑因素交集，而东方的综合性思维在这里则是致力于求取最小逻辑因素集合的简约化方案。前者以要素为观察中心，以要素的性质划分关系信息，形成标准定义；而后者以关系为观察中心，以关系的划分实现要素的分析，形成标准定义。
当数学问题的表面描述不足以求解问题时，就要考虑变换形式观念的本体。譬如三次方程的求解，实际上是对变量形式的转换，以求得次数的降维。另外，譬如几何问题列举承代数方程求解，是将几何视觉结构序列归结为以数量或函数关系为核心来计算；而代数问题转化为几何模型求解（譬如线性代数中解线性方程组），则是将数量关系归结为视觉结构序列关系求解。线性代数对高维方程的求解与几何向量空间投影等价起来，由此，高维空间的投影作用均可通过向量计算来判断。
实变范畴积分的困难转化为算子空间变换，是以运算规则为观察中心实现简并。转化为复变函数积分，是以外推出更广数域的基本规律作为计算算法的根据，即以探索更深层次内在规律以解脱当前的方法角度困境。高次方程求解归结为群论问题，也是试图对内在基本规律的探索，试图要么是归纳出充分要素对高次方程给出通解，要么是以必要本征判断解的存在性。从上述这些动机来看，从方法背景、结构逻辑、运算规则各个角度都可以想办法解脱数学问题的困境，数学实际上是一种思维转换技术。
习题本质上是一种关系场景的构造，做习题的目的是为了充分认识一种关系并体察上述的技术思想，上述的技术不是单一存在的，而是综合使用的，或依次序列，或复合嵌套，或分部分节分别解决，不一而足。
最后引用一段牛人的话结束此文，并与所有和我一样尚在数学的迷茫之中“不识庐山真面目，只缘身在此山中”仍不放弃探索的同好共勉——“学任何东西都要有一个基础，在学生阶段，就是以某个重要理论为目标，然后去补习 essential 的背景知识，但是无论学什么，都有一个底层基础，包括实分析、复分析、点集拓扑、抽象代数、泛函分析。然后是第二层基础，包括调和分析，多复变，微分拓扑、代数拓扑、交换代数、同调代数、拓扑群、群表示、黎曼面，微分几何和偏微分方程。这两层基础打好以后，就可以随意看书。”——烟花不堪剪
