效用模型的原理概述

第一个例子，如果100万对你来说起到的作用很大，但是对巴菲特来说呢，100万对巴菲特的帮助也很大吗？假设100万对你的作用是X，对巴菲特的作用是Y，那么我想 X > Y 的。

可以看出来，同样的100万，但是对你和巴菲特带来的效用却完全不同，这就是效用模型的最基本原理。

 

第二个例子，如果你有100万，那么这时间10万对你来说的效用是X；如果你有100亿，那么这时间10万对你来说的效用是Y。同样，效用 X > Y 的。

 

第三个例子，如果你有100亿，这世间再给你10万好，还是不给你好呢，我想是再给10万好，虽然这十万带来的效用已经很小了，对自己生活的提高已经很小了，但是还是正效用的。

 

用一个函数来表示这种现象，这个函数就是效用函数，从上面3个例子中，可以看出来效用函数满足2个主要的特征：

1. 如果 x <= y，那么 u(x)<=u(y)。即如果我有100亿，这时间我的效用是 u(x)；如果我有100亿零10万，之间我的效用是 u(y)，那么 u(x)<=u(y)。

2. 如果 d≥0d≥0，并且 x≤yx≤y，那么 u(x+d)−u(x)≥u(y+d)−u(y)。即当你有100万时，10万带来的额外效用是 u(100 + 10) - u(100)，当你有100亿时，10万带来的额外效用是 u(10000000000 + 10) - u(10000000000 )，例子1和例子2说明的就是这个问题。

 

看到上面2个特征，那么你就想到了 凹函数，对的，正常的效用函数都是凹函数：

1. 曲线是上升的

2. 曲线上升的越来越慢

 

凹函数例子图：

 

对于凹函数如何证明，则要回顾大学时学的高数了。

 

 

例子

效用函数：

 

初始资金：25000

 

投资选项1：什么都不做，获得收益0，概率100%。

投资后的效用为 u(x0 + x1) = u(25000 + 0) = u(25000) = 25000开根号 ≈ 158.11

 

投资选项2：利用15000来投资一个资产，有50%的概率获利 15000，也有50%的概率亏掉15000.

投资后的效用为 u(x0 + x1) = u(25000 + 15000) / 2 + u(25000 - 15000) / 2 = 150

 

可以看出选项1和选项2的期望收益都是0 ，但是投资选项1的效用值要大于选项2，所以选项1才是效用最大的选择。

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