CF做题记录(二)
Codeforces Round #585 (Div. 2)
D. Ticket Game
Description
给定一个长度为\(n\)的数字串(\(n\)为偶数)，其中有一些位置的值被删除了用\(?\)表示，有两个人要在这个上面玩一个游戏。这两个人会轮流把串中的问号替换成一个数字\(\in [0, 9]\)，如果最后前一半所有数位的和等于后一半所有数位的和，那么后手赢，否则先手赢。现在给定这个带\(?\)的数字串，你需要求出谁最后会赢
\(2 \leq n \leq 2 \times 10^5\)
Solution
我们可以先考虑只有一边有\(?\)的情况，设\(?\)的数量为\(C\)(\(C\)为偶数)，有\(?\)的那边比另一边的权值和少\(d\)，
- \(Case_1\)，如果\(d = \frac{C}{2} \times 9\)，先手放\(x\)，后手就放\(9-x\)，后手赢
- \(Case_2\)，如果\(d > \frac{C}{2} \times 9\)，先手就一直放\(0\)，不论后手怎么放，\(d\)总是大于\(0\)，先手赢
- \(Case_3\)，如果\(d < \frac{C}{2} \times 9\)，先手就一直放\(9\)，不论后手怎么放，\(d\)最后会小于\(0\)，先手赢
现在我们再考虑一下两边都有括号的情况，我们假设左边的\(?\)较多，左边的权值和比右边的少\(d\)，括号数量的差为\(C\)
- 如果\(d = \frac{C}{2} \times 9\)，那么不论先手怎么放，后手就可以对称的去放，然后转化为\(Case_1\)
- 如果\(d > \frac{C}{2} \times 9\)，先手就可以在右边放一个\(9\)，以此来转换先后手，然后再按照对手的操作对称去放。最后只有左边有奇数个\(?\)的时候，\(d > \frac{C}{2} \times 9 + 9\)。等对手放完之后，就转化为了\(Case_2\)
- 如果\(d < \frac{C}{2} \times 9\)，先手就可以在右边放一个\(0\)，以此来转换先后手，然后再按照对手的操作对称去放。最后只有左边有奇数个\(?\)的时候，\(d < \frac{C}{2} \times 9\)。等对手放完之后，就转化为了\(Case_3\)
所以我们就只需要知道\(C, d\)，就可以确定胜负了
\(Solution\)思路来源：mohamedeltair
E. Marbles
Description
给定一个长度为\(n\)的数列\(a_i\)，你可以花费\(1\)的代价交换相邻的两个元素。现在你要使得每种权值的下标连续，问最小需要多少花费
\(2 \leq n \leq 4 \times 10^5, 1 \leq a_i \leq 20\)
Solution
我们可以先处理出任意一种权值考虑对于任意一个其它权值的集合，如果要把所有这种权值的数都移到最左边需要的代价。然后我们就可以设\(dp[s]\)表示把\(s\)集合中的权值都处理完后(移动到最左边)所需要的最少代价，然后我们就每次枚举一种没有处理的权值转移就可以了
F. Radio Stations
Description
有\(p\)个信号站，每一个信号站只有在总站发出的功率在\([l_i, r_i]\)时才能正常工作，现在有\(n\)个形如\(x_i\)号信号站和\(y_i\)至少要有一个正常工作的限制，有\(m\)个形如\(x_i\)号信号站和\(y_i\)不能同时正常工作的限制
总站能发出的功率\(f\)的范围是\(\in [1, M]\)，你现在需要确定总站发出的功率以及哪些信号站工作，使其满足给定的所有限制
\(2 \leq n, p, M, m \leq 4 \times 10^5\)
Solution
我们可以发现如果没有功率的限制，那就是一道\(2-SAT\)的模板题，现在我们考虑怎么解决功率的限制
我们可以考虑对于每一种功率都建一种变量，第\(i\)个点表示\(f \geq i\)，其逆否命题表示\(f < i\)。我们对于\(f \geq i\)向\(f \geq i - 1\)连边，因为如果\(f\)满足前者，显然就会满足后者。同理，我们对于\(f < i\)向\(f < i + 1\)连边。然后我们可以把信号站对于功率的限制转化为下面两个限制：\(f \geq l_i\)和不选\(i\)至少有一个成立，\(f < r_i + 1\)和不选\(i\)至少有\(1\)个成立。然后就直接跑\(2-SAT\)，随便跑出一组解就可以了
Summary
这场也只能算是打得一般，\(E\)题就是一道思博题，还想了半个多小时...
以后打的时候一定要注意做题速度，因为\(Div2\)有很多手速场。比如说这场，从第\(4\)名到差不多\(200\)名都是\(A\)了\(5\)题，就是看谁的手速快
