激光原理总结
一共四章
§Chapter 1
爱因斯坦系数/激光产生条件/激光结构/激光优点
- 自发辐射: 上能级粒子，自发地从$E_2$能级跃迁到$E_1$能级，并辐射出光子
- 受激辐射: 上能级粒子，遇到能量等于能级差的光子，在光子激励下，粒子从$E_2$能级跃迁到$E_1$能级，并辐射出一个与入射光子完全相同的光子
- 受激吸收: 下能级粒子，遇到能量等于能级差的光子，在光子激励下，粒子从$E_1$能级跃迁到$E_2$能级，并吸收一个入射光子
三个爱因斯坦系数：
\[dn_{21}=A_{21}n_2 dt \,\,(自发辐射)\]
\[dn_{21}^{'}=B_{21}n_2 \rho_v dt \,\,(受激辐射)\]
\[dn_{12}=B_{12}n_1 \rho_v dt \,\,(受激吸收)\]
三个爱因斯坦系数的关系：
\[\frac{A_{21}}{B_{21}}=\frac{8\pi h \nu^3}{c^3}\]
\[B_{12}g_1=B_{21}g_2\]
粒子数反转分布状态:
\[\frac{dn_{21}^{'}}{dn_{12}}=\frac{g_1n_2}{g_2n_1}>1\]
受激辐射大于受激吸收,打破波尔兹曼分布。此时可称“得到增益”。而普通情况下，受激辐射/自发辐射较小（计算参看讲义）。
总结：产生激光的基本条件是“粒子数反转分布和增大一方向上的光能密度”
激光器的基本结构：
- 工作物质：增益介质/粒子数反转/上能级为亚稳态
- 激励装置：能源/光/电
- 谐振腔：反馈/光强/模式
三能级系统：亚稳态寿命长，阈值高，转换效率低。如红宝石激光器
四能级系统：阈值低，连续运转，大功率。如He-Ne
激光器的优点：
- 相干性好：受激辐射的光具有相干性，相干长度$L_c=\frac{\lambda^2}{\Delta \lambda}$，相干时间$\tau=\frac{L_c}{c}$
- 方向性好：谐振腔
- 单色性好
- 亮度高：受激辐射的光强大
§Chapter 2
稳定性/模式分析/高斯光束
腔的分类参考Ch2-P1
光腔的稳定性条件：傍轴模在腔内往返无限多次不逸出腔外,数学形式如下
\[g_1=1-\frac{L}{R_1},g_2=1-\frac{L}{R_2}\]
\[0\le g_1g_2\le1\]
按照稳定性得到三种腔♥
\[0<g_1g_2<1\,\,\,稳定腔\]
♥\[g_1g_2=0\,or\,g_1g_2=1\,\,\,临界腔\]♥
\[g_1g_2<0\,or\,g_1g_2>1\,\,\,非稳腔\]
♥ ♥ ♥
♥♥ ♥
bbx ♥ nnx
图解法判断腔的稳定条件Ch2-P2
用上述条件判断各种腔的稳定性，注意曲率R的方向"凹面向着腔内时(凹面镜)，$R>0$；凸面向着腔内时(凸面镜)，$R<0$"。题目参见Ch2-P5（两种类型：判断稳定性/根据稳定性构造腔）
纵模间隔：
\[\Delta \nu_q=\frac{c}{2nL}\]
n为介质的折射率，L为谐振腔长度
选模技术(简答题)：
获得单纵模输出（选频）有两种思路，一是压缩激光器的增益带宽，二是增大纵模频率间隔。列举一下三种方法：
- 短腔法：纵模间隔与谐振腔腔长成反比，为了在激光增益曲线中获得单一频率的纵模，可通过缩小腔长来增大纵模频率间隔，使其在荧光谱线有效宽度范围内，只存在一个纵模振荡。但这种方法使得谐振腔受到限制
- 法布里-波罗标准具：法布里-波罗标准具由两个端面平行且镀有高反射的反射膜。由于多光束干涉的结果，对若干个很窄频率带宽的光有极高的透过率。通过调整F-P标准具的倾角，可以达到选频目的
- 三反射镜法：激光器一端设置三个反射镜，组成两个耦合的谐振腔，满足两个谐振条件的光能够输出，只要短腔足够段，就可以控制得到单纵模
选取横模要求基模衍射损耗小，有较大的功率输出；高阶横模的衍射损耗足够大。
- 调节反射镜：调整反射镜，使得它偏离轴线一个小角度，高阶横模损耗比基横模增加的快，可筛选出基横模
- 光阑法选取单横模：高阶横模的光束截面比基横模大，故减小增益介质的有效孔径，从而减小菲涅尔数N，就可以大大增加高阶横模的衍射损耗，以至于将它们完全抑制。最简单的方法是在腔内靠近反射镜的地方放置一个光阑。
基模高斯光束
等相面半径：
\[R(z)=z[1+(\frac{\pi \omega_0^2}{z\lambda})^2]\]
光斑半径：
\[ W(z)=W_0[1+(\frac{z\lambda}{\pi W_0})^{\frac{1}{2}}] \]
共焦参数(瑞利长度)：
\[f=\pi\frac{{\omega_0}^2}{\lambda}\]
远场发散角：
\[\theta_远=\frac{\lambda}{\pi \omega_0}=\sqrt{\frac{\lambda}{f\pi}}\]
高斯光束被会聚后，从无穷远到焦点，其等相面如何变化？（简答题）
- 当$z=0$时，$R(z)\to\infty$,束腰所处的等相面为平面
- 当$z=\pm\infty$时，$R(z)\to\infty$,表明在无穷远处的等相面是平面,曲率中心在束腰处
- 当$z=\pm f$时，$|R(z)|=2f$,此时$|R(z)|$达到最小值
- 当$0<z<f$时，$R(z)>2f$,等相面的曲率中心在$[-\infty,0]$区间上
- 当$z>f$时，$z<R(z)<z+f$,等相面的曲率中心在$[-f,0]$区间上
高阶横模${TEM}_{mn}$的光斑尺寸：
\[W_m(z)=\sqrt{2m+1}W(z)\]
\[W_n(z)=\sqrt{2n+1}W(z)\]
高斯光束对应的稳定腔
1.双凹稳定腔，计算见Ch2-P17
\[ R_1=-R_1(z)=-z_1[1+(\frac{\pi \omega_0^2}{z_1\lambda})^2]=-(z_1+\frac{f^2}{z_1})\,\,\,\,镜1曲率\]
\[ R_2=R_2(z)=z_2[1+(\frac{\pi \omega_0^2}{z_2\lambda})^2]=-(z_2+\frac{f^2}{z_2})\,\,\,\, 镜2曲率\]
\[ z_1=\frac{l(R_2-l)}{(l-R_1)+(l-R_2)}\,\,\,\, 镜1位置\]
\[ z_2=\frac{l(R_1-l)}{(l-R_1)+(l-R_2)}\,\,\,\, 镜2位置\]
\[f=\pi\frac{{\omega_0}^2}{\lambda}\,\,\,\,共焦参数\]
\[l=z_2=z_1\,\,\,\,腔长关系\]
\[\omega_0^2=\frac{f\lambda}{\pi}\,\,\,\,腰斑半径\]
\[f^2=\frac{l(R_1-l)(R_2-l)(R_1+R_2-l)}{[(l-R_1)+(l-R_2)]^2}\,\,\,\,等价共焦腔的焦距\]
2.等价共焦腔
3.平凹腔
高斯光束的传播
高斯光束q参数：
\[q(z)=z+iz_0\]
\[z_0=\frac{\pi {\omega_0}^2}{\lambda}\]
\[\frac{1}{q(z)}=\frac{1}{R(z)}-i\frac{\lambda}{\pi\omega^2(z)}\]
高斯光束的聚焦
\[\omega_0^{'}=\frac{\omega_0 f}{\sqrt{(f-z)^2+z_0^2}}\]
分别改变参量$f$和$z$看变化关系。
高斯光束的准直
ABCD变换法则：矩阵方法描述高斯光束的传播和变换
计算参见CH2-P27-P31
谐振腔的损耗
\[I_1=I_0e^{-2\delta}\]
$\delta$为单程损耗因子
光强下降到初始值的$1/e$用的时间为
\[\tau=\frac{L}{\delta c}\]
腔的品质因数：
\[Q=2\pi\nu\frac{L}{c\delta}\]
腔的线宽根源是腔有损耗：
\[\Delta \nu_R=\frac{1}{2\pi\tau}=\frac{c\delta}{2\pi L}\]
\[Q=\frac{\nu}{\Delta \nu_R}\]
损耗种类：
- 镜的非完全反射引起损耗
- 平行平面腔斜向传播引起的几何损耗
- 衍射引起的损耗(菲涅尔系数越小（孔越小），损耗越大)
模体积：模式在腔内空间扩展的范围，模体积越大，对该模有贡献的激发态粒子越多。
§Chapter 3
光的增益/加宽/速率方程
增益系数：
\[G=\frac{dI(z)}{I} \frac{1}{dz}\]
线型函数：
\[g(\nu,\nu_0)=\frac{I(\nu)}{I}\]
\[I=\int I(\nu)d\nu\]
物理含义：归一化的光谱密度函数
增益系数的进一步推导可到（CH3-P4）
\[G=(n_2-n_1\frac{g_2}{g_1})\frac{A_{21}v^2}{8\pi\nu_0^2}g(\nu,\nu_0))\]
洛伦兹线型的描述：
\[g(\nu,\nu_0)=\frac{\Delta \nu}{2\pi} \frac{1}{(\Delta \nu /2)^2+(\nu-\nu_0)^2}\]
线性函数的最大值在$\nu_0$处取到：
\[g_n(\nu,\nu_0)=\frac{2}{\pi \Delta \nu_H}\]
谱线加宽对自发辐射的定义没有影响，证明在CH3-P2；对受激辐射和受激吸收而言，总粒子数多了一个谱线线型因子$g(\nu_1,\nu_0)$
补充光强的计算：
光强与能量密度的关系：$I=\rho \nu$
在量纲上，光强与能量密度差一个光速
加宽的种类
1.均匀加宽
a.自然加宽（气体/洛伦兹线型） $\Delta \nu_N=1/2\pi\tau_N$
b.碰撞加宽（气体/洛伦兹线性） $\Delta \nu_L=\alpha p$
c.晶格振动加宽（固体）
2.非均匀加宽
a.多普勒加宽（气体/高斯线性） $\Delta \nu_D$
b.晶格缺陷加宽
3.综合加宽
\[\frac{1}{\tau}=\frac{1}{\tau_N}+\frac{1}{\tau_L}\]
\[\Delta \nu_H=\Delta \nu_N+\Delta \nu_L\]
增益需要达到一定阈值，根据增益系数和损耗系数的关系(阈值条件)：
\[G\ge \frac{\delta}{l}=G_t\]
CH3-P12 关于红宝石激光器的激光频率范围$\Delta \nu_q$计算
单基横模振荡条件题目在CH3-P13：
\[e^{Gl}\sqrt{r_1r_2}(1-\delta_{mn})\ge 1\]
增益饱和：随着光强增加，增益G下降，即出现增益饱和。增益等于损耗，光强不变，达到稳定状态。
自激振荡：往返传播叫做振荡，传播的初始光又是自身体系产生的，这样的过程叫做自激振荡。激光器即为“自激振荡器”
速率方程：
系数含义
W：受激
S：无辐射
A：自发
§Chapter 4
小信号稳态，是指光强很弱的情况。此时受激辐射和受激吸收很微弱，腔内光子也很少。可以得到小信号稳态时的粒子数反转密度：
\[\Delta n^0=n_0W_{03}\tau_2\]
$n_0$是单位体积中的粒子数，$W_{03}$是抽运几率，$\tau_2$是上能级的寿命
均匀加宽的增益系数：
\[G_H^0(\nu_0)=\frac{\Delta n^0 v^2 A_{21}}{4\pi^2 \nu_0^2 \Delta \nu_H}\]
多普勒加宽的增益系数：
\[G_D^0(\nu_0)=\frac{\Delta n^0 v^2 A_{21}}{4\pi^2 \nu_0^2 \Delta \nu_D}(\frac{In2}{\pi})^{1/2}\]
结论是：谱线越宽，参与振荡的光子数越多，中心增益越小（无需很高）
均匀加宽的增益饱和
反转粒子数密度$\Delta n$的饱和：光强越大，反转粒子数密度越小。因为光强的增加来源于受激辐射，受激辐射的增加必然消耗更多的上能级粒子，从而使得反转粒子数密度下降，出现饱和。反转粒子数密度：
- 可见粒子数密度不仅与入射光的频率有关，也与入射光的光强有关。
- 入射光频率$\nu$越偏离中心频率$\nu_0$时，饱和作用月弱。因为，中心频率$\nu_0$受激辐射几率最大，所以入射光造成粒子数密度$\Delta n$下降也最多
均匀加宽的增益系数：
$G_H$不仅是入射光频率的函数，也是光强的函数，随着光强的增加而减小（增益饱和）。
当有强光存在时，弱光增益系数有所下降，下降的因子只与强光的频率和光强有关。原因是：强光的存在使得粒子数密度下降，对均匀加宽介质来说，同一频率的光中有全部发光粒子的贡献。既然强光使得粒子数下降了，那么对其他频率的光做出贡献的粒子数也下降了，其他频率的光的增益也下降。
均匀加宽激光器中的模竞争(简答题)
为讨论方便，我们设定三种纵模$v_{q-1},v_{q},v_{q+1}$，假设$v_{q}$最接近中心频率$v_0$。开始时，三种模式的增益系数都大于阈值增益系数$G_t$,三个模式的光强$I_{q-1},I_{q},I_{q+1}$都增大。由于增益饱和效应，增益曲线随着光强增大而下降(原始增益曲线→1→2→3)。那么在增益曲线下降过程中，$v_{q-1},v_{q+1}$ 对应模式的增益系数相继小于阈值增益系数，$I_{q-1},I_{q+1}$下降。最终$v_{q}$的增益系数仍大于阈值增益系数，$I_{q}$达到稳定值。
结果就是靠近中心频率的模取胜。
空间烧孔（简答题）
上图分别为图(a) (b) (c)
- 图(a)指当频率为$v_{q}$的纵模在腔内形成稳定振荡时，光场分布是驻波场，波腹光强最大。由于增益饱和，在图(b)可发现对应的反转粒子数密度（或者说增益系数）最小。种这种现象叫做空间烧孔。“孔”是指增益曲线的下凹，“烧”是指此处的空是因为这里光强较强引起的。
- 图(c)说明不同的纵模可以使用空间不同部分的反转粒子而同时产生振荡，这一现象叫纵模的空间竞争
- 解决办法是用环形腔，避免驻波的存在
光谱烧孔（简答题）
非均匀加宽工作物质，对强度为$I_{\nu_A}$的$\nu_A$的准单色光，会引起在频率范围$\delta v=\Delta v_H \sqrt{1+I_{vA}/I_s}$内反转粒子数减小，从而反转粒子数曲线上会形成凹陷。由于增益正比于反转粒子书，所以在增益曲线上，由于强光作用会造成在频率$\delta v=\Delta v_H \sqrt{1+I_{vA}/I_s}$范围内产生增益饱和，从而使增益曲线出现凹陷(光谱烧孔)。
多普勒加宽光谱烧孔（简答题）
对于强光入射的$I_{\nu_A}$，会在增益曲线以及粒子反转数曲线上产生关于中心频率$\nu_0$对称的两个烧孔。
原因是：某个纵模较强时，经过反射，腔内同时存在向前向后的分量，两个分量会使得两种速度的原子产生受激辐射。对称的两种速度原子的反转粒子数将会因为受激辐射减少，从而引起反转数两个烧孔。
稳频方法：
- 兰姆凹陷稳频
- 塞曼稳频-双频激光器稳频
- 饱和吸收稳频
- 无源腔稳频
脉冲激光器尖峰形成的原因（简答题）
本质是弛豫振荡
第一阶段$0-t_2$：光泵激励使得$\Delta n$增加，$t=t_1$时$\Delta n$达到阈值，开始产生激光。在$t_1<t<t_2$这一阶段，光泵激励使得$\Delta n$增加，受激辐射使得$\Delta n$下降,总体来说$\Delta n$增加
第二阶段$t_2-t_3$: 随着光子数密度N的增加，受激辐射逐渐增强，使得$\Delta n$下降的速率增加。在$t=t_2$时刻，$\Delta n$受激辐射减少速率的和光泵激励增加速率相同，因此$\Delta n$不再增加。$t>t_2$时，由于受激辐射仍然很强，使得N继续增大，$\Delta n$开始下降
第三阶段$t_3-t_4$: $t=t_3$时，$\Delta n=\Delta n_t$,N达到极大值。$t>t_3$时，$\Delta n<\Delta n_t$,增益小于损耗，依然存在受激辐射，N急剧下降，$\Delta n$下降速率也随之变缓
第四阶段$t_4-t_5$: 受激辐射减弱时，光泵激励作用占了上风，当光泵激励恰好等于受激辐射对$\Delta n$的影响，$\Delta n$又出现极小值。随后继续出现第二个峰值
调Q：调损耗（简答题）
先使光腔具有高损耗，激光器由于阈值高而不能产生激光，于是亚稳态上的粒子数便可以累计到较高的水平。然后再适当的时刻，使谐振腔的损耗突然降低，阈值也随之降低，此时反转集居数大大超过阈值，受激辐射即为迅速的增强。于是在极短的时间内，上能级存储的粒子的能量转变为激光能量，在输出端有一个强的激光巨脉冲输出。
调Q的方法
电光调Q: 晶体在外加电场下折射率变换，从而使光的偏振面旋转
声光调Q: 声波在介质中传播使，会使得介质发生形变，从而导致介质的折射率周期变化
染料调Q: 染料的饱和吸收可以控制谐振腔的损耗
锁模的技术目标？（简答题）
锁模技术以在多纵模激光器中实现各纵模相位差恒定，模式锁定，纵模间隔严格相等，产生同步的受激辐射为基础，能够趋近测不准原理所确定的频宽与脉宽的傅里叶变换极限，接近激光介质增益线宽所决定的最小脉冲宽度。
fs脉冲激光及自锁模技术（简答题）
fs脉冲激光器要采用自锁模技术。自锁模激光器要求激活介质本身具有非线性极化效应，能够补偿色散，频率牵引和纵模跳变等无规则随机因素，能维持各纵模的等间隔分布，并且有确定的相位关系，实现满足锁模条件的超短脉序列的输出。
自聚焦效应：自锁模的fs激光介质，具有光克尔效应，即介质折射率的变化$\Delta n$与外场的平凡成正比，在光频范畴内，与光强$I(t)$成正比变化。对于玻璃等材料，$\Delta n(t)$可以实时跟着$I(t)$以fs量级的速度响应。从空间上看，高斯型的光束，横截面上的光强分布是中间大两端小，导致折射率梯度分布，从而形成一个会聚透镜。
光阑：高强度区对应短焦距。利用光阑或介质本身的自孔径选模作用，将脉冲前后沿对应的低强度光强空间“滤波”。
自聚焦效应+光阑相当于快弛豫饱和吸收体，而且峰值处的损耗最少，净增益最大，经过多次振荡，脉冲宽度被不断压缩，可获得fs级的超短脉冲
