量子系综理论
1. 量子系综的引入
在经典系综里面，针对系综做了介绍。当经典力学难以刻画粒子的运动状态时，需要引入量子力学。具体是指用波函数$\Psi$来描述粒子的动力学状态。$\Psi$有限/连续/平方可积，并且满足归一化的条件：
\[ \langle \Psi | \Psi ^* \rangle=1 \]
力学量的各种算符就不一一写了，写一下坐标表象下坐标算符：$\hat{x}=x$, 动量算符$\hat{p}=-ih\nabla$
薛定谔方程写一下：
\[i\hbar\frac{\partial}{\partial t } |\Psi (t) \rangle = \dot{\mathcal{H}}| \Psi (t) \rangle\]
力学量的态平均：
\[\langle b \rangle \equiv \frac{\langle \Psi(t) |b| \Psi(t) \rangle}{\langle \Psi(t) | \Psi(t) \rangle} \]
态函数归一化，得到：
\[\langle b \rangle \equiv \langle \Psi(t) |b| \Psi(t) \rangle \]
量子系综与经典系综定义类似，只是此时的微观态就特指“量子态”。如果所有子系统在同一时刻处于同一量子态，则称之为“纯系综”；所有子系统在同一时刻处于不同的量子态，则称之为“混合系综”。
2. 量子系综的密度算符
2.1 密度算符定义
假设系综由N个字子系统构成。t时刻，有$N_i$个子系统处于量子态$| \Psi ^i (t) \rangle$，令$\rho_i=N_1/N$, 且$\sum_i N_i=N,\,\sum_i \rho_i=1$。当N很大时，就可以近似认为$\rho_i$就是第i个子系统处于量子态$| \Psi ^i (t) \rangle$的概率。此时，定义混合系综的密度算符为：
\[\hat{\rho}=\sum_i \rho_i\,|\Psi(t) \rangle \langle \Psi(t)|\]
如果是纯系综的情况，那么密度算法就简化为：
\[\hat{\rho}=|\Psi(t) \rangle \langle \Psi(t)|\]
量子系综中密度算符的物理意义，相当于经典统计中的密度分布函数$\rho(q,p)$
2.2 密度算符的性质：
a. 归一性：$Tr(\hat{\rho})=\sum_n \rho_{nn}=1$
b. 厄密性：$\hat{\rho}^{\dagger}=\hat{\rho}$, or , $\rho_{nm}^{\tau \ast}=\rho_{mn}^{\ast}=\rho_{nm}$
参考Hermite matrix, 厄密的运算特性等价于对算符矩阵的“转置＋共轭”，上式中$\tau 表示转置\ast表示共轭$
c. 密度矩阵的矩阵元（包括对角和非对角）有界
3. 力学量平均值的量子系综表示
\[\langle \hat{b} \rangle=\sum_i \rho_i \langle \hat{b}^i \rangle=\sum_i \rho_i \langle \Psi(t) |\hat{b}| \Psi(t) ^* \rangle\]
这里可以理解为两次平均，第一次是由于态矢$| \Psi(t) \rangle$的几率性质，第二次是由于$\rho_i$带来的系统的统计性质。
再写一步：
\[\langle \hat{b} \rangle=Tr(\hat{\rho} \hat{b})=\sum_m \langle \psi_m|\hat{\rho}\hat{b}|\psi_m \rangle\]
量子系综中的力学量平均值, 对应于经典统计中的力学量平均值公式：
\[\langle \hat{b} \rangle=Tr(\hat{\rho} \hat{b}) \longrightarrow \bar{b}=\iint b(q,p)\rho(q,p)\frac{dqdp}{N!h_{3N}}\]
5.量子系综平均值的性质
量子力学量算符的系综平均值 与”表象选取“无关，因此为了测量方便可以自选表象；
量子力学量算符的系综平均值 与”绘景选取“无关，因此不同形式的测量结果应该不变
4.量子Liouville方程
由：
\[\hat{\rho}=\sum_i \rho_i\,|\Psi(t) \rangle \langle \Psi(t)|\]
\[i\hbar\frac{\partial}{\partial t } |\Psi (t) \rangle = \dot{\mathcal{H}}| \Psi (t) \rangle\]
\[\hat{H}=\hat{H}^{\dagger}\]
共同推导出量子Liouville方程
\[\frac{\partial}{\partial t}{\hat{\rho}}+\frac{1}{i\hbar}\left[ \hat{\rho},\hat{H} \right] =0\]
其中：
\[\left[ \hat{\rho},\hat{H} \right]=\hat{\rho}\hat{H}-\hat{H}\hat{\rho}\]
