线性代数基础

1. 标准正交基

两两正交且模为1

2. 向量内积

\[A \cdot B = \left| A \right|\left| B \right|\cos \left( a \right)\]

设向量B的模为1，则A与B的内积值等于A向B所在直线投影的矢量长度。要准确描述向量，首先要确定一组基，然后给出在基所在的各个直线上的投影值，就可以了。

3. 向量外积

\[A \times B = \left\| a \right\|\left\| b \right\|\sin \theta n\]

n是同时垂直于A，B向量的单位向量。

4. 矩阵

可逆矩阵：$AB = BA = E$

正交矩阵：${A^T}A = E$

A相似于B（$A \sim B$）：${P^{ - 1}}AP = B$，P是可逆方阵。相似矩阵有相同的特征多项式，相同的特征值。

5. 特征值和特征向量

$Ax = \lambda x$，$x$是非零列向量，A是n阶方阵。

（1）$\begin{array}{l}
{\lambda _1}{\lambda _2} \cdots {\lambda _n} = \left| A \right|\\
{\lambda _1} + {\lambda _2} +  \cdots {\lambda _n} = {a_{11}} + {a_{22}} +  \cdots  + {a_{nn}}
\end{array}$

（2）实对称矩阵的任一特征值都是实数

（3）不同特征值对应的特征向量线性无关

6. 迹

$tr\left( A \right) = {a_{11}} + {a_{22}} +  \cdots  + {a_{nn}}$，$A$是n阶方阵。

（1）迹是所有对角元的和

（2）迹是所有特征值的和

（3）某些时候也利用tr(AB)=tr(BA)来求迹