离散数学A
自反性：（都自指）所有的点自己指向自己【<a,a><b,b>】；
反自反性：（都不自指）所有的点都绝不自己指向自己；
对称性：但凡指，定互指【<a,b>,<b,a>】；
反对称性：但凡指，定单指；
传递性：间接指向，定直指【<a,b><b,c><a,c>】；
【平面图 】
*|欧拉公式：
1个联通分支：
顶点数 - 边数 + 面数 = 1 + 1
推广到n个联通分支：
顶点数 - 边数 + 面数 = 联通分支数 + 1
*|握手定理对偶
平面图所有面的次数和 = 2 x 边数
如果A，就B.
如果A，则B. <=>
A仅当B.<=>A->B
】
只有A，才有B.
除非A，才有B.<=>
B->A
】
除非A，否则B<=>
(┒A)->B
】
A当且仅当B<=>
A<=>B
如果A，则B. <=>
A仅当B.<=>A->B
】
只有A，才有B.
除非A，才有B.<=>
B->A
】
除非A，否则B<=>
(┒A)->B
】
A当且仅当B<=>
A<=>B
树的度数之和 = 2 x 边数
例题：
若一棵树有两个2 度顶点，一个3度顶点，3个4 度顶点，其余都有是树叶，则该树共有 15 个顶点
假设有n个定点，边数为n-1;则
（4+3+12+n-6）= 2 x（n-1）
例题：
若一棵树有两个2 度顶点，一个3度顶点，3个4 度顶点，其余都有是树叶，则该树共有 15 个顶点
假设有n个定点，边数为n-1;则
（4+3+12+n-6）= 2 x（n-1）
取模运算：a % p（或a mod p），表示a除以p的余数。
模p加法：(a + b) % p = (a % p + b % p) % p ，其结果是a+b算术和除以p的余数。
模p减法：(a - b) % p = (a % p - b % p) % p，其结果是a-b算术差除以p的余数。
模p乘法： (a * b) % p = (a % p * b % p) % p，其结果是 a * b算术乘法除以p的余数。
结合律：
((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p
((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p
交换律：
(a + b) % p = (b+a) % p
(a * b) % p = (b * a) % p
分配律：
((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p
模p加法：(a + b) % p = (a % p + b % p) % p ，其结果是a+b算术和除以p的余数。
模p减法：(a - b) % p = (a % p - b % p) % p，其结果是a-b算术差除以p的余数。
模p乘法： (a * b) % p = (a % p * b % p) % p，其结果是 a * b算术乘法除以p的余数。
结合律：
((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p
((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p
交换律：
(a + b) % p = (b+a) % p
(a * b) % p = (b * a) % p
分配律：
((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p
设G为群,a∈G,
若存在a^(k)=e成立的最小正整数k成为a的阶(或周期)记作|a|=k,也称a为k阶元;
若不存在这种k，则称a为无限阶元；
【】
例题：
设G为群,a,b,cG,证明:|abc|=|bca|=|cab|
证明：
设|abc|=t ; |bca|=n ; |cab|=s ;
(abc)^(n+1)=abc……abc=a (bca)^(n) bc=aebc=abc;
最左与最右同时少abc得
∴(abc)^n=e；
t|n
同理可证n|t ，则t=n
同理可证n=s
∴|abc|=|bca|=|cab|
若存在a^(k)=e成立的最小正整数k成为a的阶(或周期)记作|a|=k,也称a为k阶元;
若不存在这种k，则称a为无限阶元；
【】
例题：
设G为群,a,b,cG,证明:|abc|=|bca|=|cab|
证明：
设|abc|=t ; |bca|=n ; |cab|=s ;
(abc)^(n+1)=abc……abc=a (bca)^(n) bc=aebc=abc;
最左与最右同时少abc得
∴(abc)^n=e；
t|n
同理可证n|t ，则t=n
同理可证n=s
∴|abc|=|bca|=|cab|
【欧拉通路】通过所有边且仅一次行遍所有顶点的通路；
【欧拉回路】通过所有边且仅一次行遍所有顶点的回路；
【欧拉图】具有【欧拉回路】的图；
【半欧拉图】具有【欧拉通路】而无【欧拉回路】的图；
1.无向连通图G是【欧拉图】<=>G不含奇数度结点(G的所有结点度数为偶数)；
&1.1无向图G是【欧拉图】<=>G连通的且不含奇数度结点
2.无向连通图G是【半欧拉图】<=>G有零个或两个奇数度的结点；
&2.2无向图G是【半欧拉图】<=>G是连通的有零个或两个奇数度的结点；
&3.有向图D是【欧拉图】<=>D图是强连通的且D中每个结点的【入度=出度】
&4.有向图D含有【半欧拉图】<=>D图为单向连通的且D中除两个结点外，其余每个结点的入度=出度，且此两点满足deg－(u)－deg+(v)=±1。（起始点s的入度=出度-1，结束点t的出度=入度-1 或两个点的入度=出度）
5.一个非平凡连通图是欧拉图当且仅当它的每条边属于奇数个环。
&5.5G是非平凡的欧拉图<=>G是连通的且是若干个边不重的圈的并。
6.如果图G是欧拉图且 H = G - uv，则H有奇数个u,v-迹仅在最后访问v；同时，在这一序列的u,v-迹中，不是路径的迹的条数是偶数。(Todia[1973])
【欧拉回路】通过所有边且仅一次行遍所有顶点的回路；
【欧拉图】具有【欧拉回路】的图；
【半欧拉图】具有【欧拉通路】而无【欧拉回路】的图；
1.无向连通图G是【欧拉图】<=>G不含奇数度结点(G的所有结点度数为偶数)；
&1.1无向图G是【欧拉图】<=>G连通的且不含奇数度结点
2.无向连通图G是【半欧拉图】<=>G有零个或两个奇数度的结点；
&2.2无向图G是【半欧拉图】<=>G是连通的有零个或两个奇数度的结点；
&3.有向图D是【欧拉图】<=>D图是强连通的且D中每个结点的【入度=出度】
&4.有向图D含有【半欧拉图】<=>D图为单向连通的且D中除两个结点外，其余每个结点的入度=出度，且此两点满足deg－(u)－deg+(v)=±1。（起始点s的入度=出度-1，结束点t的出度=入度-1 或两个点的入度=出度）
5.一个非平凡连通图是欧拉图当且仅当它的每条边属于奇数个环。
&5.5G是非平凡的欧拉图<=>G是连通的且是若干个边不重的圈的并。
6.如果图G是欧拉图且 H = G - uv，则H有奇数个u,v-迹仅在最后访问v；同时，在这一序列的u,v-迹中，不是路径的迹的条数是偶数。(Todia[1973])
S×S={<2,2><2,3>,<2,4>,<3,2>,<3,3>,<3,4>,<4,2>,<4,3>,<4,4>}
<a,b>R<c,d>＜＝＞a-d＝c-b＜＝＞a+b=c+d，两个有序对只要两个元素和相等就具有关系R，所以R很明显满足
自反性：<a,b>∈SxS,a+b=a+b＜＝＞<a,b>R<a,b>
对称性:<a,b><c,d>∈SxS,<a,b>R<c,d>＜＝＞a+b=c+d＜＝＞<c,d>R<a,b>
传递性:<a,b><c,d><e,f>∈SxS,,<a,b>R<c,d>∧<c,d>R<e,f>＜＝＞a+b=c+d=e+f＜＝＞<a,b>R<e,f>
所以R是等价关系。
根据R的定义，只要两个有序对的两个元素的和相等，两个有序对就在同一个等价类中。S×S中的有序对的两个元素的和只能是4,5,6,7,8。
和为4的有：<2,2>
和为5的有：<2,3>，<3,2>
和为6的有：<2,4>，<3,3>，<4,2>
和为7的有：<3,4>，<4,3>
和为8的有：<4,4>
所以商集A/R＝｛｛<2,2>｝，｛<2,3>，<3,2>｝，｛<2,4>，<3,3>，<4,2>｝，｛<3,4>，<4,3>｝，｛<4,4>｝｝
<a,b>R<c,d>＜＝＞a-d＝c-b＜＝＞a+b=c+d，两个有序对只要两个元素和相等就具有关系R，所以R很明显满足
自反性：<a,b>∈SxS,a+b=a+b＜＝＞<a,b>R<a,b>
对称性:<a,b><c,d>∈SxS,<a,b>R<c,d>＜＝＞a+b=c+d＜＝＞<c,d>R<a,b>
传递性:<a,b><c,d><e,f>∈SxS,,<a,b>R<c,d>∧<c,d>R<e,f>＜＝＞a+b=c+d=e+f＜＝＞<a,b>R<e,f>
所以R是等价关系。
根据R的定义，只要两个有序对的两个元素的和相等，两个有序对就在同一个等价类中。S×S中的有序对的两个元素的和只能是4,5,6,7,8。
和为4的有：<2,2>
和为5的有：<2,3>，<3,2>
和为6的有：<2,4>，<3,3>，<4,2>
和为7的有：<3,4>，<4,3>
和为8的有：<4,4>
所以商集A/R＝｛｛<2,2>｝，｛<2,3>，<3,2>｝，｛<2,4>，<3,3>，<4,2>｝，｛<3,4>，<4,3>｝，｛<4,4>｝｝
△(G)>n-1一定不可简单图化；用于排除
设G为仁义n阶无向简单图，则△(G)≤n-1；
设G为仁义n阶无向简单图，则△(G)≤n-1；
多重图-有平行边
简单图-不含平行边且不含环
G为n阶无向【简单】图，若G中每个顶点均与其余的n-1个定点相邻，则成G为n阶无向完全图，简称n阶完全图，及作Kn（n≥1）
设D为n阶有向【简单】图，若D的基图为n阶无向完全图Kn，则称D是n阶【竞赛】图
设G为n阶无向【简单】图，若任意点v∈V（G），均有d（v）=k，则称G为k-正则图
G与G‘ ，同时为有（无）向图 ，
V'包含于V且E'包含于E ，则G‘是G的子图，G是G’的母图；
V'真包含于V或E'真包含于E ，则G‘是G的真子图；
点集V‘=V，G’是G的生成子图
简单图-不含平行边且不含环
G为n阶无向【简单】图，若G中每个顶点均与其余的n-1个定点相邻，则成G为n阶无向完全图，简称n阶完全图，及作Kn（n≥1）
设D为n阶有向【简单】图，若D的基图为n阶无向完全图Kn，则称D是n阶【竞赛】图
设G为n阶无向【简单】图，若任意点v∈V（G），均有d（v）=k，则称G为k-正则图
G与G‘ ，同时为有（无）向图 ，
V'包含于V且E'包含于E ，则G‘是G的子图，G是G’的母图；
V'真包含于V或E'真包含于E ，则G‘是G的真子图；
点集V‘=V，G’是G的生成子图
G=<V,E>,则(非G)=<V,ē>是G的【补图】
当G≌(非G)，则成G是【自补图】
当G≌(非G)，则成G是【自补图】
k(G)点连通度=min{|V'| |V'为G的点割集}；
非连通图k(G)=0；
kk-连通图k(G)=kk(kk>=1)
λ(G)边连通度=min{|E'| |E'为G的边割集}
非连通图 λ(G)=0；
n-边连通图 λ(G)=n(n>=1)
任何无向图G，有k(G)≤λ(G)≤最小度δ(G)
非连通图k(G)=0；
kk-连通图k(G)=kk(kk>=1)
λ(G)边连通度=min{|E'| |E'为G的边割集}
非连通图 λ(G)=0；
n-边连通图 λ(G)=n(n>=1)
任何无向图G，有k(G)≤λ(G)≤最小度δ(G)
二部图(二部图，二分图，偶图)
任意e（e∈E->e的两个端点v∈V1,v'∈V2）
V1每个顶点均与V2所有顶点相邻，则G是完全二部图
记作Kr,s
r=|V1|;s=|V2|;
n阶零图为二部图；
n(≥2)j阶无向图G是二部图<=>G中无奇圈
任意e（e∈E->e的两个端点v∈V1,v'∈V2）
V1每个顶点均与V2所有顶点相邻，则G是完全二部图
记作Kr,s
r=|V1|;s=|V2|;
n阶零图为二部图；
n(≥2)j阶无向图G是二部图<=>G中无奇圈
【平面图】
完全图K5（五角星） 和完全二分图K3,3 是【极小非平面图】.
【极大平面图】是【连通】的，并且阶数n≥3时，没有割点和桥
设G是n（n≥3）阶【简单连通】的平面图，G为【极大平面图】<=>G的每个面的次数均为3.
一个连通分支：
设G是连通的平面图，且每个面的次数至少为l (l≥3)，则G的边数m与顶点数n有 m≤l*(n-2)/(l-2)
推广到k个连通分支：
m≤l*(n-k-1)/(l-2)
设G是n(≥3)阶m条边的【简单平面图】，则 m≤3n-6 (边数≤3x点数-6)
设G是n(≥3)阶m条边的【极大平面图】，则m=3n-6 (边数=3x点数-6)
设G是【简单平面图】，则G的最小度δ≤5
完全图K5（五角星） 和完全二分图K3,3 是【极小非平面图】.
【极大平面图】是【连通】的，并且阶数n≥3时，没有割点和桥
设G是n（n≥3）阶【简单连通】的平面图，G为【极大平面图】<=>G的每个面的次数均为3.
一个连通分支：
设G是连通的平面图，且每个面的次数至少为l (l≥3)，则G的边数m与顶点数n有 m≤l*(n-2)/(l-2)
推广到k个连通分支：
m≤l*(n-k-1)/(l-2)
设G是n(≥3)阶m条边的【简单平面图】，则 m≤3n-6 (边数≤3x点数-6)
设G是n(≥3)阶m条边的【极大平面图】，则m=3n-6 (边数=3x点数-6)
设G是【简单平面图】，则G的最小度δ≤5
任意二部图r、s，当s≥1+r不是哈密顿图
完全二部图Kr,r都是哈密顿图
完全二部图Kr,r+1都是半哈密顿图
完全二部图Kr,r都是哈密顿图
完全二部图Kr,r+1都是半哈密顿图
