动态规划算法

　　动态规划算法通常基于一个递推公式以及一个或多个初始状态，当前子问题的解由上一次子问题的解推出。

　　在动态规划算法中有一个经典的例子就是硬币找零问题。

1、问题描述

　　如果我们有面值为1元、3元、5元的硬币若干，如何用最少的硬币凑够11元？

2、思路分析

　　基于动态规划的思想，我们可以从1元开始计算最少需要几个硬币，然后再求2元、3元、4元...

　　首先，当i=0时，我们需要0个，即d(0)=0;

　　当i=1时，只有面值为1元的硬币可用，d(1)=d(1-1)+1=1;

　　当i=2时，仍然只有面值为1元的硬币可用，d(2)=d(2-1)+1=2;

　　当i=3时，可用的硬币有1元和3元，如果我拿了1元的，我的目标就变成了凑够3-1=2元需要的最少硬币了，即d(3)=d(3-1)+1=3，另一个方案是我拿了一个3元的硬币，目标就是凑够3-3=0元需要的最少硬币数量，即d(3)=d(3-3)+1=1，所以综合两者方案的最小值d(3)=min{d(3-1)+1,d(3-3)+1}=1;

　　当i=4时，可用的硬币有1元和3元，如果我拿了1元的，我的目标就变成了凑够4-1=3元需要的最少硬币了，即d(4)=d(4-1)+1=2，另一个方案是我拿了一个3元的硬币，目标就是凑够4-3=1元需要的最少硬币数量，即d(4)=d(4-3)+1=2，所以综合两者方案的最小值d(3)=min{d(4-1)+1,d(4-3)+1}=2;

　　d(5)=1;

　　d(6)=2;

　　d(7)=3;

　　d(8)=2;

　　d(9)=3;

　　d(10)=2;

　　...

　　由上面可以退出公式，d(i)=min{d(i-vj)+1}，其中i-vj>=0，vj表示第j个硬币的面值。

　　现在，我们回到原题中，d(11)=min{d(11-vj)+1}，其中vj可以取值为1,3,5。当vj=1时，d(11)=d(10)+1=3，当vj=3时，d(11)=d(8)+1=3，当vj=5时，d(11)=d(6)+1=3，所示d(11)=3。

3、代码示例

　　首先定义以下变量：

　　values[] : 保存每一种硬币的币值的数组
　　valueKinds :币值不同的硬币种类数量，即values[]数组的大小
　　money : 需要找零的面值
　　coinsUsed[] : 保存面值为 i 的纸币找零所需的最小硬币数

　　当求解总面值为 i 的找零最少硬币数 coinsUsed[ i ] 时，将其分解成求解 coinsUsed[ i – cents]和一个面值为 cents 元的硬币，由于 i – cents < i ， 其解 coinsUsed[ i – cents] 已经存在，如果面值为 cents 的硬币满足题意，那么最终解 coinsUsed[ i ] 则等于 coinsUsed[ i – cents] 再加上 1（即面值为 cents）的这一个硬币。代码如下：

public class CoinsChange
{
    /**  
     * 硬币找零：动态规划算法  
     *   
     */ 
    public static void makeChange(int[] values, int valueKinds, int money, int[] coinsUsed)
    {  
        coinsUsed[0] = 0; 
        int cents ;
        // 对每一块钱都找零，即保存子问题的解以备用，即填表  
        for (cents = 1; cents <= money; cents++) 
        {  
            // 当用最小币值的硬币找零时，所需硬币数量最多  
            int minCoins = cents;  
            // 遍历每一种面值的硬币，看是否可作为找零的其中之一  
            for (int kind = 0; kind < valueKinds; kind++)
            {               
                // 若当前面值的硬币小于当前的cents则分解问题并查表  
                if (values[kind] <= cents)
                {  
                    int temp = coinsUsed[cents - values[kind]] + 1;  
                    // temp表示组合成cents需要的硬币数目 
                    if (temp < minCoins)
                    {  
                        minCoins = temp;  
                    }  
                }  
            }  
            // 保存最小硬币数  
            coinsUsed[cents] = minCoins;  
        }  
        System.out.println("面值为 " + (money) + " 的最小硬币数 : " + coinsUsed[cents-1]);  
    }  
    public static void main(String[] args)
    {
        int[] coinValue = new int[] { 1,3,5 };  
        // 需要找零的面值  
        int money = 11;  
        // 保存每一个面值找零所需的最小硬币数，0号单元舍弃不用，所以要多加1  
        int[] coinsUsed = new int[money + 1];  
        makeChange(coinValue, coinValue.length, money, coinsUsed); 
    }
}