多维算法思考（三）：AB组合问题

多维算法思考（三）：AB组合问题

题目:x个A，y个B可以组合成多少个不同排列的问题。

首先，我们用数学的方式思考，这个问题属于《组合数学》的问题，我们的第一种方法可以用组合思路来求解。

也就是说在x+y个单元格中随机选出x个单元格用来存放A，那么其他的也就自然存放B，所以共有种不同的排列，例如当x=3,y=2时，可组成10种不同的排列。

这种方法虽好，但不直观。如果我们要列出所有的AB组合，这种方法显然不容易办到，这时我们可以用另一种方法来求解。利用递归的思想。我们用f(x,y)表示x个A，y个B可以组合成的不同排列数，则当第一个是A时，共有f(x-1,y)种不同排列数，当第一个是B时，共有f(x,y-1)种不同排列数。所以f(x,y)=f(x-1,y)+f(x,y-1)。

也许有人会问，这样一个递归式子，我们不是一样看不出来AB组合吗？确实，从表面看，我们也不能直观的列出AB组合。这是我们需要对其变通一下，将它转换成树状图。下面我们还是以x=3,y=2为例：

 x每减一，树枝上就会多一A；y每减一，树枝上就会多一B。若x或y为0，则结束，剩下的数字即为B或A的个数。上述AB组合从左到右依次为AAABB--AABAB--AABBA--ABAAB--ABABA--ABBAA--BAAAB--BAABA--BABAA--BBAAA共可组成10种不同的排列。

下面我们用C语言来实现上述递归算法。（递归执行顺序图如下）

算法思路：原理同上述树状执行图。我们先设两个全局变量p,q，初始值p=x,q=y。通过每一次x与p，y与q的大小比较来判断执行的流程。

          当x=0或y=0时结束。用数组a[5]来记录执行过程中AB的顺序。

 

完整算法：

//x个A，y个B可以组合成多少个不同排列的问题

#include<stdio.h>

#define x 4
#define y 2

int p=x,q=y,k=0;
char a[5];

int fun(int m,int n)
{
    if(m<p)
    {
        a[k++]='A';
        p=m;
        q=n;
        if(m==0)
        {
            for(int j=0;j<k;j++)
                printf("%c",a[j]);
            for(int i=0;i<n;i++)
                printf("B");
            printf("\n");
            k--;
            p++;
            return 1;
        }        
    }
    else if(m>p)
    {
        for(int i=p;i<m;i++)
            k--;
        p=m;
        if(q==n)
        {
            q++;
            k--;
        }
    }
    if(n<q)
    {
        a[k++]='B';
        p=m;
        q=n;
        if(n==0)
        {
            for(int j=0;j<k;j++)
                printf("%c",a[j]);
            for(int i=0;i<m;i++)
                printf("A");
            printf("\n");
            k--;
            q++;
            return 1;
        }        
    }
    else if(n>q)
    {
        for(int i=q;i<n;i++)
            k--;
        q=n;
        if(p==m)
        {
            p++;
            k--;
        }
    }
    return fun(m-1,n)+fun(m,n-1);
}


void main()
{
    printf("\n%d个A,%d个B可组成%d种不同的排列\n",x,y,fun(x,y));
}

执行效果图：