P8868 [NOIP2022] 比赛

https://www.luogu.com.cn/problem/P8868

我学会了历史和！

在一阵扫描线过后，你会发现，$[l,r]$ 的所有子区间的答案，就一定是扫到 $i$ 的时候，加上 $[k,i]$ 的答案，$k\le i,i\in[l,r]$，然后又因为只有当 $i\ge l$ 的时候，才能对左端点在 $[l,r]$ 的答案贡献，因此，你会发现这个东西就是一个扫过去，然后区间加法，然后查询区间历史和的问题。

即对于 $[l,r]$，我们需要知道 $[l',r']\subset[l,r]$ 的答案，那么我们可以扫描线，扫到 $i$ 的时候，用序列的第 $j$ 位表示 $[j,i]$ 的答案。因为 $i$ 只会更新 $j\le i$，因此当扫到 $i<l$ 的时候，对答案无影响。当 $i\ge l$ 的时候，会更新左端点的答案，此时若左端点在范围内，显然是要贡献给答案的，注意到，左端点的限制是仅跟查询的区间有关的，而对于一个询问 $[l,r]$ 我们可以把它挂在 $r$ 上，那么需要往后一位扫，更新，贡献，往后一位扫，更新，贡献……这样的一个过程，对于贡献抽离出来，发现就是历史和问题。

总结一下，对于抽象到二维平面问题的矩形和，我们可以利用扫描线，然后维护更新操作，那么答案一定某些左端点的历史答案的和，这些左端点仅跟询问的区间有关

具体一下就是 $[l,r]$ 的子区间有啥呢？

$[l,l]$

$[l,l+1],[l+1,l+1]$

$[l,l+2],[l+1,l+2],[l+2,l+2]$

...
$[l,r],[l+1,r],[l+2,r]...[r-1,r],[r,r]$

如果说扫到某个位置，比如 $l+2$，那么比如说 $[l,l+2]$ 的答案是贡献到 $l$ 上的。

那么对于 $[l,l],[l,l+1],[l,l+2],...,[l,r]$ 这些，你会发现就是扫到 $r$ 后 $l$ 的历史和。

嗯！

然后历史和，就是在每次更新后，将当前的答案，贡献给历史和，你就把矩阵乘法的形式写一写，然后嗯算哪些位置可能非零，然后抽离出来大力算。

然后在维护的时候不要想一步到位，抽离出来每一个步骤比较好做。比如你要时刻维护历史和，那你可以看成更新完，然后再来一个维护历史和的操作，而不是在更新的过程中就顺带维护了历史和。

更新后必须的更新历史和。

$[Ans,val,S_a,S_b,len]\to[Ans+val,val,S_a,S_b,len]$

更新 $A$。

$[Ans,val,S_a,S_b,len]\to[Ans,v\cdot S_b,v\cdot len,S_b,len]$

更新 $B$ 同理。

#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define ull unsigned long long
#define ls ((cur)<<1)
#define rs ((ls)|1)
#define pb push_back
using namespace std;
const int N=(int)(2.5e5+5);
vector<pair<int,int> >vec[N];
ull ans[N];
int La[N],Lb[N],tp,st[N],n,q,a[N],b[N];

struct Matt {
	ull a[5];
	Matt() {
		memset(a,0,sizeof(a));
	}
	void clr() {
		memset(a,0,sizeof(a));
	}
}val[N<<2];

struct Mat {
	ull a[14];
	Mat() {
		memset(a,0,sizeof(a));
	}
	void clr() {
		memset(a,0,sizeof(a));
	}
	void clr1() {
		clr();
		a[0]=a[2]=a[5]=a[8]=a[13]=1;
	}
}tag[N<<2],P;

Matt Mul(const Matt &f,const Mat &g) {
	Matt res;
	res.a[0]=1llu*f.a[0]*g.a[0]+1llu*f.a[1]*g.a[1]+1llu*f.a[2]*g.a[3]+1llu*f.a[3]*g.a[6]+1llu*f.a[4]*g.a[9];
	res.a[1]=1llu*f.a[1]*g.a[2]+1llu*f.a[2]*g.a[4]+1llu*f.a[3]*g.a[7]+1llu*f.a[4]*g.a[10];
	res.a[2]=1llu*f.a[2]*g.a[5]+1llu*f.a[4]*g.a[11];
	res.a[3]=1llu*f.a[3]*g.a[8]+1llu*f.a[4]*g.a[12];
	res.a[4]=1llu*f.a[4]*g.a[13];
	return res;
} 

Mat mul(const Mat &f,const Mat &g) {
	Mat res;
	res.a[0]=1llu*f.a[0]*g.a[0];
	res.a[1]=1llu*f.a[1]*g.a[0]+1llu*f.a[2]*g.a[1];
	res.a[2]=1llu*f.a[2]*g.a[2];
	res.a[3]=1llu*f.a[3]*g.a[0]+1llu*f.a[4]*g.a[1]+1llu*f.a[5]*g.a[3];
	res.a[4]=1llu*f.a[4]*g.a[2]+1llu*f.a[5]*g.a[4];
	res.a[5]=1llu*f.a[5]*g.a[5];
	res.a[6]=1llu*f.a[6]*g.a[0]+1llu*f.a[7]*g.a[1]+1llu*f.a[8]*g.a[6];
	res.a[7]=1llu*f.a[7]*g.a[2]+1llu*f.a[8]*g.a[7];
	res.a[8]=1llu*f.a[8]*g.a[8];
	res.a[9]=1llu*f.a[9]*g.a[0]+1llu*f.a[10]*g.a[1]+1llu*f.a[11]*g.a[3]+1llu*f.a[12]*g.a[6]+1llu*f.a[13]*g.a[9];
	res.a[10]=1llu*f.a[10]*g.a[2]+1llu*f.a[11]*g.a[4]+1llu*f.a[12]*g.a[7]+1llu*f.a[13]*g.a[10];
	res.a[11]=1llu*f.a[11]*g.a[5]+1llu*f.a[13]*g.a[11];
	res.a[12]=1llu*f.a[12]*g.a[8]+1llu*f.a[13]*g.a[12];
	res.a[13]=1llu*f.a[13]*g.a[13];
	return res;
}

void push_up(int cur) {
	val[cur].a[0]=val[ls].a[0]+val[rs].a[0];
	val[cur].a[1]=val[ls].a[1]+val[rs].a[1];
	val[cur].a[2]=val[ls].a[2]+val[rs].a[2];
	val[cur].a[3]=val[ls].a[3]+val[rs].a[3];
	val[cur].a[4]=val[ls].a[4]+val[rs].a[4];
}

void build(int cur,int l,int r) {
	val[cur].clr(); tag[cur].clr1();
	val[cur].a[4]=r-l+1;
	if(l==r) return ;
	int mid=(l+r)>>1;
	build(ls,l,mid); build(rs,mid+1,r);
	push_up(cur);
}

void push_down(int cur) {
	tag[ls]=mul(tag[ls],tag[cur]);
	tag[rs]=mul(tag[rs],tag[cur]);
	val[ls]=Mul(val[ls],tag[cur]);
	val[rs]=Mul(val[rs],tag[cur]);
	tag[cur].clr1();
}

void upt(int cur,int l,int r,int cl,int cr) {
	if(cl<=l&&r<=cr) {
		val[cur]=Mul(val[cur],P);
		tag[cur]=mul(tag[cur],P);
		return ;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	push_down(cur);
	if(cl<=mid) upt(ls,l,mid,cl,cr);
	if(cr>mid) upt(rs,mid+1,r,cl,cr);
	push_up(cur);
}

ull qry(int cur,int l,int r,int cl,int cr) {
	if(cl<=l&&r<=cr) {
		return val[cur].a[0];
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	push_down(cur);
	if(cr<=mid) return qry(ls,l,mid,cl,cr);
	if(cl>mid) return qry(rs,mid+1,r,cl,cr);
	return qry(ls,l,mid,cl,cr)+qry(rs,mid+1,r,cl,cr);
}

signed main() {
// 	freopen("match.in","r",stdin);
// 	freopen("match.out","w",stdout);
	cin.tie(0); ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>n; cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>b[i];
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		while(tp&&a[st[tp]]<a[i]) {
			--tp;
		}
		if(tp) La[i]=st[tp];
		st[++tp]=i;
	}
	tp=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		while(tp&&b[st[tp]]<b[i]) {
			--tp;
		}
		if(tp) Lb[i]=st[tp];
		st[++tp]=i;
	}
	
	cin>>q;
	for(int i=1;i<=q;i++) {
		int l,r; cin>>l>>r;
		vec[r].pb(make_pair(l,i));
	}
	build(1,1,n);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		P.clr();
		P.a[0]=1; P.a[7]=a[i]; P.a[8]=1; P.a[11]=a[i]; P.a[13]=1;
		upt(1,1,n,La[i]+1,i);
		P.clr();
		P.a[0]=1; P.a[4]=b[i]; P.a[5]=1; P.a[12]=b[i]; P.a[13]=1;
		upt(1,1,n,Lb[i]+1,i);
		P.clr1(); P.a[1]=1;
		upt(1,1,n,1,i);
		for(auto x:vec[i]) ans[x.second]+=qry(1,1,n,x.first,i); 
	}
	for(int i=1;i<=q;i++) cout<<ans[i]<<'\n';
	return 0;
} 

__EOF__

本文作者：F x o r G
本文链接：https://www.cnblogs.com/xugangfan/p/17704310.html
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