置换环

/jd/jd

刚 VP AHOI2022 时 T1 又摸出来了一次这个东西，记一下比较好。

知识

往往的，都是形如 $i\to p_i$，这样的连边，保证了，每个点的出度为 $1$，每个点的入度为 $1$。

考虑每个点的出度为 $1$，则一定是一个由若干基环内向树组成的森林（一棵基环内向树，非根点唯一出边连其父亲，根连到其子树的某个儿子上，若根不是这样，则两棵树显然可以合并）。

考虑每个点的入度为 $0$，则一定是一棵基环外向树森林。

反正你摸来摸去得到的结论是，其图一定是由若干个简单环组成的。

那么对于一个环内，每跳环长步，回到原点，则若想所有的环都回到原点，显然最小步数是他们环长的 lcm。

考虑若原先有 $p_i,p_j$，我们交换 $p_i,p_j$ 会咋样。

若原先不在一个环。

交换后变成这样！

那么，是不是两个环合并了！

若原先在一个环。

交换！

你会发现分裂出两个环了！

简单例题

P8339 [AHOI2022] 钥匙

发现是 $i\to p_i$ 连边，随便做即可。

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本文作者：F x o r G
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