P4707 重返现世

前面的 kthmin-max 容斥的推导到70分做法是平凡的。

当我们写出来一个暴力的时候，我们知道 \(dp(i,j)\) 表示选 \(i\) 个数，和为 \(j\) 的方案数，其系数是 \((-1)^{i-k}\binom{i-1}{k-1}\dfrac{m}{j}\) 的，注意到，这东西仅跟 \(i,j\) 有关，但我们又不可能大力转移！所以很困难！

考虑记 \(dp(x,i,j)\) 为考虑了前 \(x\) 个数，选了 \(i\) 个数，和为 \(j\) 的方案数，考虑能否把它的容斥系数搞一起转移掉。再记 \(v(x,j)=\sum\limits _i (-1)^{i-k}\binom{i-1}{k-1}dp(x,i,j)\)。

考虑当前选 or 不选这个数。

若不选，则 \(\forall i,dp(x,i,j)\to dp(x+1,i,j)\)，即 \(v'(x+1,j)=\sum\limits_i(-1)^{i-k}\binom{i-1}{k-1}[dp'(x+1,i,j)+dp(x,i,j)]\)，即 \(\Delta=\sum\limits_i (-1)^{i-k}\binom{i-1}{k-1}dp(x,i,j)=v(x,j)\)，哦，所以直接能转移！

考虑选。

则 \(\forall i,dp(x,i,j)\to dp(x+1,i+1,j+p)\)，即 \(v(x+1,i+1,j+p)=\sum\limits_i (-1)^{i-k}\binom{i-1}{k-1}[dp(x+1,i,j+p)+dp(x,i-1,j)]\)，那么 \(\Delta=\sum\limits_i (-1)^{i-k}\binom{i-1}{k-1}dp(x,i-1,j)=\sum\limits_i (-1)^{i+1-k}\binom{i}{k-1}dp(x,i,j)\)，考虑拆开组合数，降下 \(i\)。

即

\[\sum_i (-1)^{i+1-k}[\binom{i-1}{k-1}+\binom{i-1}{k-2}]dp(x,i,j) \]

分别看。

\[\sum_i (-1)^{i+1-k}\binom{i-1}{k-1}dp(x,i,j) \]

不难发现，这一部分即 \(-v(x,j)\)。

\[\sum_i (-1)^{i+1-k}\binom{i-1}{k-2}dp(x,i,j) \]

好难做！因为组合数拆出来跟 \(i\) 会有关系。但因为 \(k\) 很小，倘若我们记 \(v_k(x,j)=\sum\limits_i (-1)^{i-k}\binom{i-1}{k-1}dp(x,i,j)\)，那么上面那个式子就是 \(v_{k-1}(x,j)\)！！

所以你就做完转移了。

考虑初始，\(dp(0,i,j)\) 只有 \(dp(0,0,0)=1\)，因此只考虑 \(i=0,j=0\) 的情况。

即 \(v_k(0,0)=(-1)^{-k}\binom{-1}{k-1}\)。

考虑 \(\binom{-1}{k-1}=(-1)^{k-1}\)，就你把下降幂带进去，就得到了。

\[(-1)^{-k}(-1)^{k-1}=(-1)^{-1}=-1 \]

因此 \(v_k(0,0)=-1\)，其他 \(=0\)。

总结，拒绝人类智慧，设个系数暴力转移。