P4707 重返现世

前面的 kthmin-max 容斥的推导到70分做法是平凡的。

当我们写出来一个暴力的时候，我们知道 $dp(i,j)$ 表示选 $i$ 个数，和为 $j$ 的方案数，其系数是 $(-1)^{i-k}\binom{i-1}{k-1}\dfrac{m}{j}$ 的，注意到，这东西仅跟 $i,j$ 有关，但我们又不可能大力转移！所以很困难！

考虑记 $dp(x,i,j)$ 为考虑了前 $x$ 个数，选了 $i$ 个数，和为 $j$ 的方案数，考虑能否把它的容斥系数搞一起转移掉。再记 $v(x,j)=\sum\limits _i (-1)^{i-k}\binom{i-1}{k-1}dp(x,i,j)$。

考虑当前选 or 不选这个数。

若不选，则 $\forall i,dp(x,i,j)\to dp(x+1,i,j)$，即 $v'(x+1,j)=\sum\limits_i(-1)^{i-k}\binom{i-1}{k-1}[dp'(x+1,i,j)+dp(x,i,j)]$，即 $\Delta=\sum\limits_i (-1)^{i-k}\binom{i-1}{k-1}dp(x,i,j)=v(x,j)$，哦，所以直接能转移！

考虑选。

则 $\forall i,dp(x,i,j)\to dp(x+1,i+1,j+p)$，即 $v(x+1,i+1,j+p)=\sum\limits_i (-1)^{i-k}\binom{i-1}{k-1}[dp(x+1,i,j+p)+dp(x,i-1,j)]$，那么 $\Delta=\sum\limits_i (-1)^{i-k}\binom{i-1}{k-1}dp(x,i-1,j)=\sum\limits_i (-1)^{i+1-k}\binom{i}{k-1}dp(x,i,j)$，考虑拆开组合数，降下 $i$。

即

$$\sum_i (-1)^{i+1-k}[\binom{i-1}{k-1}+\binom{i-1}{k-2}]dp(x,i,j)$$

分别看。

$$\sum_i (-1)^{i+1-k}\binom{i-1}{k-1}dp(x,i,j)$$

不难发现，这一部分即 $-v(x,j)$。

$$\sum_i (-1)^{i+1-k}\binom{i-1}{k-2}dp(x,i,j)$$

好难做！因为组合数拆出来跟 $i$ 会有关系。但因为 $k$ 很小，倘若我们记 $v_k(x,j)=\sum\limits_i (-1)^{i-k}\binom{i-1}{k-1}dp(x,i,j)$，那么上面那个式子就是 $v_{k-1}(x,j)$！！

所以你就做完转移了。

考虑初始，$dp(0,i,j)$ 只有 $dp(0,0,0)=1$，因此只考虑 $i=0,j=0$ 的情况。

即 $v_k(0,0)=(-1)^{-k}\binom{-1}{k-1}$。

考虑 $\binom{-1}{k-1}=(-1)^{k-1}$，就你把下降幂带进去，就得到了。

$$(-1)^{-k}(-1)^{k-1}=(-1)^{-1}=-1$$

因此 $v_k(0,0)=-1$，其他 $=0$。

总结，拒绝人类智慧，设个系数暴力转移。

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本文作者：F x o r G
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