期望&概率

https://blog.csdn.net/weixin_45697774/article/details/104274160

知识

需要注意的是，$P(A|B)P(B)=P(AB)$，这个东西并没有要求 $A,B$ 独立。感性理解一下，两件事情同时发生即在发生事件 $B$ 的情况下，发生 $A$，若没发生 $A$，则显然 A,B 不可能同时发生。显然这个式子等价于 $P(B|A)P(A)$，即在发生 $A$ 的情况下，发生 $B$，同样也是 $A,B$ 同时发生。

期望的线性性证明。

其中一步挺重要的。

$$\sum_x x\sum_y P(X=x,Y=y)=\sum_x x\sum_yP(X=x)P(Y=y|X=x)=\sum_x xP(X=x)\sum_y P(Y=y|X=x)=\sum_x xP(X=x)$$

最后一步是因为 $\sum\limits_{y}P(Y=y|X=x)=1$，即在事件 $X$ 发生 $x$ 下 $Y$ 事件无论发生啥，所有概率和一定为 $1$。

同理，另一部也可证明。

注意到，我们并没有利用到两个事件的独立性，因此 $X,Y$ 之间可以不独立。

期望 dp

首先，往往是设 $f(x)$ 为从 $x$ 出发的期望。

然后转移利用全期望公式。

即枚举下一步的事件，然后其期望已经求好了，乘上其概率即可。

但在 [PKUWC2018]随机游走 中，存在

这个 $+1$ 是为什么呢？

感谢 wxy 老师的教导。

考虑我们求得是 $E(X|Y=y)$，即下一步走到某个点，当前节点的期望。

考虑 $E(Y=y)$ 那么一定是 $\sum\limits_i p_i v_i$ 的形式，现在多走了一步，那么一定是 $\sum_i p_i(v_i+1)=\sum\limits_i p_iv_i+\sum\limits_i p_i=E(Y=y)+1$。

同理，你也可以用期望的线性性来解决。

原先的东西你可以看成是 $x\to n$，那么你钦定 $y$，变成了在从 $x$ 走到 $y$ 的情况下，求 $E(x\to y\to n)=E(x\to y)+E(y\to n)=1+E(y\to n)$。

CF280C Game on Tree

我认为题解大多都很抽象。

考虑本质上是在干什么，求操作次数的期望。

那我本质上是不是可以看成，有一个排列，这个排列钦定的是操作顺序，你需要按照这个操作顺序去染色，当然，有些点可能到它的时候没得染，然后你要通过所有的排列来求出本质不同的染色方案，仅此而已。

那么，题目求得即 $E(\sum_i [i 在其所有祖先前操作])=\sum_i E([i在其所有的祖先前操作])=\sum_i P(i在其所有的祖先前操作)$，至此我们已分离出每一个点。

考虑单独求出来，既然要求 $i$ 在其所有的祖先前操作，则要求 $i$ 在排列中的顺序先于其祖先，设共 $m$ 个点。即总方案数 $m!$，其中固定住 $i$ 在第一位，则有 $(m-1)!$，即概率为 $\dfrac{(m-1)!}{m!}=\dfrac{1}{m}$，然后直接相加起来即可。

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本文作者：F x o r G
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