P4126 [AHOI2009]最小割

可行边的条件。

1.流满。显然，你要是跑出来流不满，那我直接割掉经过你的瓶颈边得到的答案显然 $<c$。

2. 假如我能通过退流使得它未流满，那此时根据 1，这条边一定不存在于当前最小割方案之中。但是假如我在它满流的时候割了的话，因为你现在能退流了，说明仍然会存在 $S\to x\to y\to T$ 的流，所以你可以认为割掉它实际上是废的，理应割掉在 $S\to x,y\to T$ 这路径上的瓶颈。那么如何实现退流操作，我们的目的是在不改变最大流的情况下减少 $x\to y$ 的流量，那么直接让其一部分流量走过 $x\to y$ 的其他路径即可。

即你可以总结出来，可行边即为它在某条流路径中是瓶颈，但这些流路径中不一定只有它一个瓶颈，但是因其一定是瓶颈，所以容量 -1 之后一定全局流量 -1。

必要边的条件。

1. 可行边。

2. 显然存在一条流路径使得只有它是瓶颈，否则的话，每条流有大于等于 2 个瓶颈，割去其他的即可。那么意味着，我这条边的容量再增加 1 还能流。那么只要考虑残余网络上是否有 $S\to x,y\to T$ 的非 0 路径即可。

总结：必要边要使得每条流路径瓶颈都只有它，那么若这条边容量 +1，则全局流量 +1。

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本文作者：F x o r G
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