矩阵树定理

线性代数

https://www.cnblogs.com/alex-wei/p/LinearAlgebra.html

变元

外向树：父到子的边，也就是每个点的入度为 1。

内向树：与上者相反，即出度为 1。

外向树/内向树的计数问题显然根据变元矩阵树定理可得，注意的是，\(a[i][i]\) 的情况可记忆为哪个为 \(1\) 就记录哪个的权。

比如要求外向树，那么每个点的入度为 \(1\)，于是记 \(a[i][i]\) 为连向 \(i\) 点的边的权值和。

注意，若无向图的话显然随意钦定根。有向图的话，钦定根，就是去掉第 \(rt\) 行和第 \(rt\) 列求的行列式。

https://www.luogu.com.cn/problem/CF917D

考虑让一个多项式的某一项的系数表示重复该指数条边的方案。我们可以插值+高斯消元/拉格朗日插值，求出多项式系数。但是讨论区有人问道：为啥随便插值都能保证其有唯一解。考虑插 \(n+1\) 个点，一定能确定唯一一个 \(n\) 次多项式。

https://www.zhihu.com/question/54104188

然后你考虑高斯消元以及求行列式的过程，你会发现这些条件都是相互充要的。

矩阵满秩，矩阵可逆，该矩阵右乘列向量得到行向量（线性方程组）有解，该矩阵行列式不为 0。

考虑对矩阵做若干矩阵初等变换去得到。